На стороне AC треугольника ABC отложен отрезок AM, равный третьей части стороны AB, а на стороне AB — отрезок AN, равный третьей части стороны AC. Найдите MN, если BC = 15.

Пусть AC = b и AB = c.

Тогда AM = 1/3 * c и AN = 1/3 * b.

Рассмотрим треугольники ABC и AMN. Угол A у них общий.

Запишем теорему косинусов для треугольника ABC:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cosA$$

$$15^2 = c^2 + b^2 - 2 * c * b * cosA$$

$$225 = c^2 + b^2 - 2bc * cosA$$

Теперь запишем теорему косинусов для треугольника AMN:

$$MN^2 = AM^2 + AN^2 - 2 * AM * AN * cosA$$

$$MN^2 = (1/3 * c)^2 + (1/3 * b)^2 - 2 * (1/3 * c) * (1/3 * b) * cosA$$

$$MN^2 = 1/9 * c^2 + 1/9 * b^2 - 2/9 * c * b * cosA$$

$$MN^2 = 1/9 * (c^2 + b^2 - 2bc * cosA)$$

Мы знаем, что $$c^2 + b^2 - 2bc * cosA = 225$$, поэтому:

$$MN^2 = 1/9 * 225$$

$$MN^2 = 25$$

$$MN = \sqrt{25} = 5$$

Ответ: 5