13. На сторонах ВС и CD квадрата ABCD взяли точки К и М так, что угол МАК равен 45°. Докажите, что ВК + DM=MK.

Для решения этой задачи необходимо провести доказательство, используя геометрические свойства квадрата и равенства углов. Вот один из возможных подходов:

1. Обозначим сторону квадрата ABCD за a. Пусть BK = x и DM = y. Тогда KC = a - x и MC = a - y.
2. Повернем треугольник ABK на 90 градусов вокруг точки A так, чтобы сторона AB совпала со стороной AD. Пусть точка K перейдет в точку K'. Тогда треугольник ABK равен треугольнику ADK'. Следовательно, AK = AK' и угол BAK равен углу DAK'.
3. Угол K'AM равен углу DAK' + угол DAM = угол BAK + угол DAM = угол BAD - угол KAK' = 90° - 45° = 45°. Таким образом, угол K'AM = углу KAM = 45°.
4. Рассмотрим треугольники AKM и AK'M. У них AK = AK', AM - общая сторона и углы K'AM = KAM. Следовательно, треугольники AKM и AK'M равны по двум сторонам и углу между ними.
5. Из равенства треугольников AKM и AK'M следует, что KM = K'M. Так как K'M = K'D + DM = BK + DM, то KM = BK + DM.

Таким образом, доказано, что BK + DM = MK.