1. На сторонах угла А отмечены точки В и С так, что АВ = АС. На этих же сторонах отмечены точки Ди Е так, что AD = АЕ. Докажите, что ∠ABE = ∠ACD. 2. В треугольниках ABC и DEF известно, что AB = DE, ∠A = ∠D, ∠B = ∠E. На стороне АС отмечена точка М, а на стороне DF - точка № так, что ВМ = EN. Докажите, что ДВМС = ∆ENF. 3. Докажите, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны. 4. В треугольниках АВС и А,В,С, отрезки CD и C₁D₁ - биссектрисы. Известно, что АВ = А1В1, СА = ∠A1, ∠B = ∠В1. Докажите, что CD = C₁D1. 5. Докажите, что медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также высотой и биссектрисой. 6. На основании ВС равнобедренного треугольника АВС отметили точки М и № так, что ВМ = CN. Докажите, что ∠BAM = ∠CAN.

1. Доказательство: Рассмотрим треугольники ABE и ACD. У них:

• AB = AC (по условию)
• AD = AE (по условию)
• ∠A - общий

Следовательно, треугольники ABE и ACD равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Отсюда следует, что ∠ABE = ∠ACD. 2. Доказательство: Рассмотрим треугольники BMA и ENF. У них:

• AB = DE (по условию)
• ∠A = ∠D (по условию)
• ∠B = ∠E (по условию)

Тогда по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам) ΔABC = ΔDEF. Так как BM = EN и AM = DN (так как AC = DF и M и N - точки на сторонах AC и DF соответственно, такие что AM = DN, то MC = NF). Тогда ΔBMC = ΔENF по двум сторонам и углу между ними (первый признак). 3. Доказательство: Пусть ABC - равнобедренный треугольник с основанием AC. Пусть BM и CN - медианы, проведенные к боковым сторонам AB и BC соответственно. Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = BC. Так как BM и CN - медианы, то AM = MC и BN = NA. Следовательно, AM = BN = MC = NA. Рассмотрим треугольники BMA и CNA. У них:

• AB = BC
• AM = CN
• ∠A = ∠C (углы при основании равнобедренного треугольника)

Следовательно, ΔBMA = ΔCNA (по двум сторонам и углу между ними). Значит, BM = CN, что и требовалось доказать. 4. Доказательство: В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ известны отрезки CD и C₁D₁ - биссектрисы. Дано AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁. Тогда треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников). Следовательно, AC = A₁C₁ и BC = B₁C₁. Так как CD и C₁D₁ - биссектрисы равных углов C и C₁ соответственно, то ∠ACD = ∠A₁C₁D₁ = rac{1}{2}∠C = rac{1}{2}∠C₁. Рассмотрим треугольники ACD и A₁C₁D₁. У них:

• AC = A₁C₁
• ∠A = ∠A₁
• ∠ACD = ∠A₁C₁D₁

Следовательно, треугольники ACD и A₁C₁D₁ равны по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда следует, что CD = C₁D₁. 5. Доказательство: Пусть ABC - равнобедренный треугольник с основанием AC. Пусть BD - медиана, проведенная к основанию AC. Так как BD - медиана, то AD = DC. Рассмотрим треугольники ABD и CBD. У них:

• AB = BC (по определению равнобедренного треугольника)
• BD - общая сторона
• AD = DC (так как BD - медиана)

Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по трем сторонам. Отсюда следует, что ∠ADB = ∠CDB. Так как ∠ADB + ∠CDB = 180°, то ∠ADB = ∠CDB = 90°. Следовательно, BD - высота. Так как треугольники ABD и CBD равны, то ∠ABD = ∠CBD. Следовательно, BD - биссектриса. 6. Доказательство: Пусть ABC - равнобедренный треугольник с основанием BC, и BM = CN. Рассмотрим треугольники ABM и ACN. У них:

• AB = AC (по определению равнобедренного треугольника)
• BM = CN (по условию)
• ∠B = ∠C (как углы при основании равнобедренного треугольника)

Следовательно, треугольники ABM и ACN равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Отсюда следует, что ∠BAM = ∠CAN.