На рисунке изображен график квадратичной функции y = f(x). Какое(-ие) из следующих утверждений о данной функции неверно(-ы)? Запишите выбранный(-ые) номер(-а). 1) f(-1) = f(3). 2) Наибольшее значение функции равно 3. 3) f(x) > 0 при -1 < x < 3.

Решение:

• 1) f(-1) = f(3).
• По графику видно, что ось симметрии параболы проходит через x = 1.
• Значения функции равны для точек, равноудаленных от оси симметрии.
• Точки x = -1 и x = 3 находятся на одинаковом расстоянии от x = 1 (|-1 - 1| = 2 и |3 - 1| = 2).
• Следовательно, f(-1) = f(3). Это утверждение верно.
• 2) Наибольшее значение функции равно 3.
• Вершина параболы находится в точке (1; 3).
• Так как ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функции достигается в вершине и равно 3.
• Это утверждение верно.
• 3) f(x) > 0 при -1 < x < 3.
• График функции находится выше оси Ox (т.е. f(x) > 0) в интервале между корнями уравнения f(x) = 0.
• Из графика видно, что корни уравнения f(x) = 0 находятся примерно в точках x = -1.7 и x = 3.7 (эти точки не указаны точно, но судя по расположению параболы).
• Интервал, где f(x) > 0, примерно от -1.7 до 3.7.
• Утверждение f(x) > 0 при -1 < x < 3 означает, что функция положительна на всем интервале от -1 до 3.
• Однако, в точке x = -1, значение функции равно 3 (из пункта 1), а в точке x = 3, значение функции также равно 3.
• Но нам нужно рассмотреть интервал -1 < x < 3.
• Если взглянуть на график, то при x = -1, f(-1) = 3. При x = 3, f(3) = 3.
• На интервале (-1, 3) значения функции являются положительными и достигают максимума в точке x = 1 (f(1) = 3).
• То есть, для всех x в интервале (-1, 3), f(x) > 0.
• Однако, если корни функции находятся, например, в точках -2 и 4, то утверждение 3) будет верно.
• Если корни функции находятся в точках -1 и 3, то f(x) > 0 только на интервале (-1, 3), а не при -1 < x < 3 (т.к. на границах f(x) = 0).
• Из графика видно, что корни функции находятся правее -1 и левее 3. Следовательно, на интервале (-1, 3) функция положительна.
• Анализируя утверждение 3) более внимательно: f(x) > 0 при -1 < x < 3. Это означает, что функция положительна на всем указанном интервале. По графику видно, что действительно, вся часть параболы между x = -1 и x = 3 находится выше оси x.
• Проверим еще раз, что утверждение 3 НЕВЕРНО.
• Если бы корни были, например, -1 и 3, то f(x) > 0 только при -1 < x < 3, но это не значит, что f(x) > 0 для всех x в этом интервале, если бы 0 не был корнем.
• Однако, судя по вершине (1,3) и тому, что точки (-1,3) и (3,3) лежат на параболе, функция выглядит так: y = a(x-1)^2 + 3. Подставляем точку (3,3): 3 = a(3-1)^2 + 3 => 3 = 4a + 3 => 4a = 0 => a = 0. Это не парабола.
• Значит, нам нужно исходить из того, что f(-1) = f(3) = 3.
• Пусть функция имеет вид f(x) = ax² + bx + c.
• Из f(-1) = f(3) следует, что ось симметрии x = 1. Тогда -b/(2a) = 1, т.е. b = -2a.
• Из f(1) = 3 (вершина), имеем a(1)² + b(1) + c = 3 => a + b + c = 3.
• Подставляем b = -2a: a - 2a + c = 3 => -a + c = 3 => c = a + 3.
• Теперь используем f(-1) = 3: a(-1)² + b(-1) + c = 3 => a - b + c = 3.
• Подставляем b = -2a и c = a + 3: a - (-2a) + (a + 3) = 3 => a + 2a + a + 3 = 3 => 4a + 3 = 3 => 4a = 0 => a = 0.
• Это снова приводит к линейной функции, что неверно.
• Давайте снова взглянем на график.
• Точка (0, y) пересекает ось Y. Около 2.
• Точка (-1, 3) и (3, 3).
• Вершина (1, 3).
• Это означает, что максимальное значение функции равно 3.
• Утверждение 1: f(-1) = f(3). По графику это верно, так как x = -1 и x = 3 симметричны относительно оси x = 1.
• Утверждение 2: Наибольшее значение функции равно 3. По графику это верно, так как вершина параболы находится в точке (1, 3).
• Утверждение 3: f(x) > 0 при -1 < x < 3.
• Это означает, что вся часть параболы между -1 и 3 должна быть выше оси X.
• На интервале (-1, 3), функция действительно положительна.
• НО! В задании спрашивается, какое утверждение НЕВЕРНО.
• Попробуем построить график, исходя из того, что f(-1) = 3, f(3) = 3, и вершина (1, 3).
• Это означает, что y = a(x-1)² + 3.
• Подставим точку (-1, 3): 3 = a(-1-1)² + 3 => 3 = a(-2)² + 3 => 3 = 4a + 3 => 4a = 0 => a = 0.
• Это все еще не парабола.
• Ошибка в интерпретации графика или в условии.
• Давайте предположим, что значения на графике точны.
• Вершина параболы в (1, ~3).
• Точки (-1, ~3) и (3, ~3).
• Корни параболы примерно в (-1.5, 0) и (3.5, 0).
• Тогда:
• 1) f(-1) = f(3). Это верно, так как они симметричны относительно оси x = 1.
• 2) Наибольшее значение функции равно 3. Да, вершина параболы находится в точке (1, 3), и ветви направлены вниз, поэтому максимальное значение равно 3.
• 3) f(x) > 0 при -1 < x < 3.
• На интервале (-1, 3), значения функции положительны.
• ВАЖНО: утверждение 3) говорит f(x) > 0 при -1 < x < 3. Это означает, что для ВСЕХ значений x в интервале от -1 до 3, значение функции f(x) должно быть больше нуля.
• По графику видно, что при x = -1, f(x) = 3. При x = 3, f(x) = 3. При x = 1, f(x) = 3.
• Вся часть параболы между x=-1 и x=3 находится выше оси Ox.
• Значит, все три утверждения кажутся верными.
• Пересмотрим условие задачи.