5. На рисунке ABCD – прямоугольник CH 1 BD, сторона АВ в 3 раза больше диагонали. Найдите СН, если BC = 20.

Ответ: CH = 6

Пусть BD = x, тогда AB = 3x.

Рассмотрим прямоугольник ABCD. BC = AD = 20. По теореме Пифагора для треугольника ABD:

\[(3x)^2 + 20^2 = x^2\]\[9x^2 + 400 = x^2\]\[8x^2 = 400\]\[x^2 = 50\]\[x = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\]

Тогда BD = 5√2, AB = 15√2.

Площадь треугольника BCD можно найти двумя способами:

• Как половину произведения катетов: \[S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15\sqrt{2} = 150\sqrt{2}\]
• Как половину произведения основания на высоту: \[S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot CH\]

Приравниваем оба выражения для площади:

\[\frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot CH = 150\sqrt{2}\]\[5\sqrt{2} \cdot CH = 300\sqrt{2}\]\[CH = \frac{300\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = 60\]

Извините, я допустил ошибку в расчетах.

1) Пусть BD = x, тогда AB = 3x. 2) Рассмотрим прямоугольник ABCD. BC = AD = 20. По теореме Пифагора для треугольника ABD:

\[(BD)^2 = (AB)^2 + (AD)^2\]\[x^2 = (3x)^2 + 20^2\]

AB не может быть больше диагонали.

Условие задачи некорректно.

Если принять, что диагональ в 3 раза больше стороны АВ, т.е. AB = x, а BD = 3x. Тогда теорема Пифагора будет иметь вид:

\[(BD)^2 = (AB)^2 + (AD)^2\]\[(3x)^2 = (x)^2 + (20)^2\]\[9x^2 = x^2 + 400\]\[8x^2 = 400\]\[x^2 = 50\]\[x = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\]

Тогда AB = 5√2, BD = 15√2

Площадь треугольника BCD можно найти двумя способами: 1) Как половину произведения катетов:

\[S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 5\sqrt{2} = 50\sqrt{2}\]

2) Как половину произведения основания на высоту:

\[S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 15\sqrt{2} \cdot CH\]

Приравниваем оба выражения для площади:

\[\frac{1}{2} \cdot 15\sqrt{2} \cdot CH = 50\sqrt{2}\]\[15\sqrt{2} \cdot CH = 100\sqrt{2}\]\[CH = \frac{100\sqrt{2}}{15\sqrt{2}} = \frac{20}{3} = 6,(6)\]

Ответ: CH = 6,(6)