Решение:

1. Докажем, что $$\triangle ABK$$ – равнобедренный.

   Так как $$ABCD$$ – трапеция, а $$ВСКН$$ – прямоугольник, то $$BC \parallel AD$$ и $$BH \parallel CK$$. По условию диагонали прямоугольника $$ВСКН$$ параллельны боковым сторонам трапеции, то есть $$BK \parallel AB$$ и $$CH \parallel CD$$.

   Рассмотрим углы при основании $$AK$$ в треугольнике $$ABK$$.

   $$\angle BAK = \angle ABK$$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $$BK$$ и $$AB$$ и секущей $$AK$$. Следовательно, $$\triangle ABK$$ – равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника, если два угла при основании равны, то треугольник равнобедренный).

2. Докажем, что $$AD = 3 BC$$.

   Так как $$ВСКН$$ – прямоугольник, то $$BC = HK$$. По условию $$AB = BK$$ и $$CD = CK$$. Так как $$\triangle ABK$$ и $$\triangle CDK$$ – равнобедренные, то $$AH = HK = KD$$, $$AH = HK = KD$$ как отрезки, отсекаемые параллельными прямыми на сторонах угла.

   Тогда $$AD = AH + HK + KD = BC + BC + BC = 3BC$$.