Решение

1. Докажем, что $$\triangle ABK$$ – равнобедренный.

   Так как $$BCKH$$ – прямоугольник, то $$BC = HK$$. По условию, диагонали $$BH$$ и $$CK$$ параллельны боковым сторонам трапеции, то есть $$BH \parallel AB$$ и $$CK \parallel CD$$. Значит, $$\angle ABH = 0$$ и $$\angle DCK = 0$$.

   Рассмотрим $$\triangle ABH$$. Так как $$BH \parallel AB$$, то $$\angle ABH = 0$$. Это означает, что точка $$H$$ лежит на прямой $$AB$$. Аналогично, точка $$K$$ лежит на прямой $$CD$$.

   Так как $$BH \parallel AB$$ и $$CK \parallel CD$$, то $$AB \parallel CK$$ и $$CD \parallel BH$$. Следовательно, $$AB = BH$$ и $$CD = CK$$.

   $$\triangle ABK$$: $$\angle ABH = \angle BAK$$. Следовательно, $$\triangle ABK$$ – равнобедренный, так как углы при основании равны.

2. Докажем, что $$AD = 3 \cdot BC$$.

   Так как $$BCKH$$ – прямоугольник, то $$BC = HK$$. Обозначим $$BC = x$$. Тогда $$HK = x$$.

   Из доказательства выше следует, что $$AH = AB$$ и $$KD = CD$$.

   Так как $$AB = BH$$ и $$CD = CK$$, а диагонали прямоугольника равны, то $$BH = CK$$. Значит, $$AB = CD$$.

   $$\triangle ABH = \triangle DCK$$ по двум сторонам и углу между ними ($$AB = CD$$, $$BH = CK$$, $$\angle ABH = \angle DCK$$). Следовательно, $$AH = KD$$.

   Обозначим $$AH = KD = y$$.

   Тогда $$AD = AH + HK + KD = y + x + y = x + 2y$$.

   Из условия задачи диагонали $$BH$$ и $$CK$$ параллельны боковым сторонам трапеции. Значит, $$AB = BH = AH$$, то есть $$\triangle ABH$$ – равносторонний. Следовательно, $$AH = AB = BH = y = x$$.

   Подставим $$y = x$$ в выражение для $$AD$$:

   $$AD = x + 2y = x + 2x = 3x$$.

   Так как $$BC = x$$, то $$AD = 3 \cdot BC$$.