На рисунке 45 AB = BC, A₁B₁ = = B₁C₁, ∠BAC = ∠B₁А₁C₁. Докажите, что прямые BC и B₁C₁ параллельны.

Решение:

Дано: На рисунке 45 AB = BC, A₁B₁ = B₁C₁, ∠BAC = ∠B₁А₁C₁.

Доказать: Прямые BC || B₁C₁.

1. Рассмотрим треугольник ABC. По условию AB = BC, значит, треугольник ABC равнобедренный. Углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.
2. Рассмотрим треугольник A₁B₁C₁. По условию A₁B₁ = B₁C₁, значит, треугольник A₁B₁C₁ равнобедренный. Углы при основании равны: ∠B₁A₁C₁ = ∠B₁C₁A₁.
3. По условию ∠BAC = ∠B₁А₁C₁.
4. Из равенства углов ∠BAC = ∠BCA (из п.1) и ∠B₁A₁C₁ = ∠B₁C₁A₁ (из п.2), а также из равенства ∠BAC = ∠B₁А₁C₁ (из п.3) следует, что ∠BCA = ∠B₁C₁A₁.
5. Углы ∠BCA и ∠B₁C₁A₁ являются внутренними накрест лежащими при пересечении прямых BC и B₁C₁ секущей AC₁. Так как эти углы равны, то прямые BC и B₁C₁ параллельны.

Доказано.