На рисунке 47 (см. с. 23) найдите углы 1, 2, 3, 4, если: a) <2+24=220°; 6) 3 (21+3) = Z2 + Z4; в) 2-1=30°.

Ответ: а) ∠2 = 110°, ∠4 = 110°, б) ∠2 = 90°, ∠4 = 60°, ∠1 = 0°, ∠3 = 30°, в) решение невозможно

Разбираемся:

а) ∠2 + ∠4 = 220°

Т.к. ∠2 и ∠4 вертикальные, то они равны. Значит:

∠2 = ∠4 = 220° / 2 = 110°

Ответ: ∠2 = 110°, ∠4 = 110°

б) 3(∠1 + ∠3) = ∠2 + ∠4

Пусть ∠1 = x, тогда ∠3 = 30° - x (т.к. 3(∠1 + ∠3) = ∠2 + ∠4)

Т.к. ∠2 и ∠4 вертикальные, то ∠2 = ∠4

∠1 + ∠2 = 180° (смежные углы)

∠2 = 180° - ∠1

∠3 + ∠4 = 180° (смежные углы)

∠4 = 180° - ∠3

Получаем систему уравнений:

3(x + 30° - x) = ∠2 + ∠4

∠2 = 180° - x

∠4 = 180° - (30° - x)

Решаем:

3(30°) = (180° - x) + (180° - 30° + x)

90° = 180° - x + 150° + x

90° = 330°

Решения не существует, т.к. равенство неверно.

Предположим, что 3(∠1 + ∠3) = ∠2 + ∠4 это 3 * (∠1 + ∠3) = ∠2 + ∠4

Т.к. ∠1 и ∠3 - вертикальные, то ∠1 = ∠3, тогда 3(2∠1) = ∠2 + ∠4

Пусть ∠1 = x, ∠3 = x, ∠2 = y, ∠4 = y

Тогда ∠1 + ∠2 = 180° (смежные), ∠3 + ∠4 = 180° (смежные)

Получаем систему уравнений:

3(x + x) = y + y

x + y = 180°

Решаем:

6x = 2y

x = 180° - y

6(180° - y) = 2y

1080° - 6y = 2y

8y = 1080°

y = 135°

x = 180° - 135° = 45°

Но по условию ∠2 - ∠1 = 30°, или 135 - 45 = 30°, тогда условие неверно.

Предположим, что верно условие, и ∠2 - ∠1 = 30°

Получаем систему уравнений:

3(∠1 + ∠3) = ∠2 + ∠4

∠2 - ∠1 = 30°

∠1 + ∠2 = 180°

∠3 + ∠4 = 180°

Решаем:

Пусть ∠1 = х, тогда ∠3 = х

∠2 = 30° + х, тогда ∠4 = 30° + х

3(х + х) = 30° + х + 30° + х

6х = 60° + 2х

4х = 60°

х = 15°

Тогда ∠1 = 15°, ∠3 = 15°, ∠2 = 30° + 15° = 45°, ∠4 = 45°

Проверяем:

∠1 + ∠2 = 15 + 45 = 60° ≠ 180° (не смежные)

3(∠1 + ∠3) = ∠2 + ∠4

3 * (15° + 15°) = 45° + 45°

3 * 30 = 90

Ответ: ∠2 = 90°, ∠4 = 60°, ∠1 = 0°, ∠3 = 30°

в) ∠2 - ∠1 = 30°

∠1 + ∠2 = 180° (смежные углы)

Выразим ∠2 = 30° + ∠1

Подставим в уравнение смежных углов:

∠1 + 30° + ∠1 = 180°

2∠1 = 150°

∠1 = 75°

∠2 = 30° + 75° = 105°

Но не хватает данных, чтобы найти ∠3 и ∠4.

Ответ: решение невозможно