1. На рисунке 5 плоскости а и в пересекаются по прямой EF. Прямая АВ лежит в плоскости а и параллельна EF. В плоскости в через точку С проведите прямую так, чтобы она: 1) пересекала прямую АВ; 2) была скрещивающейся с прямой АВ; 3) была параллельна прямой АВ. 2. На рисунке 6 А₁С₁ = AC, A₁C₁ || AC, A₁B₁ = AB, А1В1 || АВ. Докажите, что СС1 || ВВ1.

1. Для выполнения задания необходимо нарисовать прямую в плоскости β, проходящую через точку C, в соответствии с каждым из трех условий: * 1) Пересекала прямую AB: Прямая, проведенная из точки C в плоскости β, должна пересекать прямую AB. Для этого можно провести прямую, проходящую через точку С и точку на прямой AB (или ее продолжении). * 2) Была скрещивающейся с прямой AB: Прямая, проведенная из точки C в плоскости β, должна быть не параллельна и не пересекаться с прямой AB. Это означает, что прямая должна лежать в плоскости β таким образом, чтобы никогда не встретиться с прямой AB, даже если их продолжить в обе стороны. * 3) Была параллельна прямой AB: Прямая, проведенная из точки C в плоскости β, должна быть параллельна прямой AB. Это означает, что прямая должна идти в том же направлении, что и AB, и не пересекаться с ней. 2. Дано: A₁C₁ = AC, A₁C₁ || AC, A₁B₁ = AB, А₁B₁ || AB (рисунок 6). Доказать: CC₁ || BB₁. Доказательство: * Рассмотрим четырехугольник ACC₁A₁. Так как A₁C₁ = AC и A₁C₁ || AC, то ACC₁A₁ — параллелограмм (по признаку параллелограмма). * Следовательно, AA₁ || CC₁ и AA₁ = CC₁. * Аналогично, рассмотрим четырехугольник ABB₁A₁. Так как A₁B₁ = AB и A₁B₁ || AB, то ABB₁A₁ — параллелограмм (по признаку параллелограмма). * Следовательно, AA₁ || BB₁ и AA₁ = BB₁. * Из пунктов 2 и 4 следует, что CC₁ || BB₁ (так как обе прямые параллельны одной и той же прямой AA₁) и CC₁ = BB₁. * Таким образом, CC₁ || BB₁ что и требовалось доказать.