155. На рисунке 61 хорда CD пересекает диаметр АВ в точке K, ∠DEK = ∠CFK = 90', ∠DKA = 60°, EF = 10 см. Найдите хорду CD.

Пошаговое решение:

1. Т.к. \( \angle DKA = 60^{\circ} \), то \( \angle DKO = 60^{\circ} \) как смежные. В прямоугольном треугольнике \( \Delta DKO \) угол \( \angle KDO = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
2. В прямоугольном треугольнике напротив угла в \( 30^{\circ} \) лежит катет, равный половине гипотенузы, то есть \( OK = \frac{1}{2} OD \). \( OD \) — радиус окружности.
3. \( OE = OF = R \) (радиус). \( EF = 10 \) см, значит, \( OK = OF - KF = R - 10 \).
4. Из пункта 2 следует, что \( OK = \frac{1}{2} OD = \frac{1}{2} R \). Получаем уравнение: \( R - 10 = \frac{1}{2} R \). Решаем уравнение: \( R - \frac{1}{2} R = 10 \); \( \frac{1}{2} R = 10 \); \( R = 20 \) см.
5. Т.к. \( \angle CFK = 90^{\circ} \), то \( FK \perp CD \). Значит, \( FK \) — высота и медиана в равнобедренном треугольнике \( \Delta COD \). Следовательно, \( CK = KD \).
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \Delta DKO \). В нем \( KD = OD \cdot sin(60^{\circ}) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10 \sqrt{3} \).

Хорда \( CD = 2 \cdot KD = 2 \cdot 10 \sqrt{3} = 20 \sqrt{3} \) см.

Ответ: \( 20\sqrt{3} \) см