На рисунке 113, б четырехугольник ABCD - параллелограмм. Луч AM – биссектриса угла BAD, луч CN – биссектриса угла BCD. Докажите, что ANCM – параллелограмм.

Доказательство:

1. ABCD - параллелограмм (по условию), следовательно, ∠BAD = ∠BCD (как противоположные углы параллелограмма).
2. AM и CN - биссектрисы углов BAD и BCD соответственно (по условию), следовательно, ∠NAM = 1/2 * ∠BAD и ∠NCM = 1/2 * ∠BCD.
3. Т.к. ∠BAD = ∠BCD, то 1/2 * ∠BAD = 1/2 * ∠BCD, следовательно, ∠NAM = ∠NCM.
4. AD || BC (как противоположные стороны параллелограмма), следовательно, ∠BAD + ∠ABC = 180° (как односторонние углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AB).
5. ∠ABC = 180° - ∠BAD.
6. Т.к. ABCD - параллелограмм, то AB || CD, следовательно, ∠BAD + ∠ADC = 180° (как односторонние углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AD).
7. ∠ADC = 180° - ∠BAD.
8. ANCM - четырехугольник, у которого ∠NAM = ∠NCM (доказано выше).
9. ∠ANC = 180° - ∠ADC = 180° - (180° - ∠BAD) = ∠BAD.
10. ∠AMC = 180° - ∠ABC = 180° - (180° - ∠BAD) = ∠BAD.
11. Следовательно, ∠ANC = ∠AMC = ∠BAD.
12. Таким образом, в четырехугольнике ANCM противоположные углы равны: ∠NAM = ∠NCM и ∠ANC = ∠AMC.
13. Если в четырехугольнике противоположные углы равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
14. Следовательно, ANCM - параллелограмм.