Решение:

1) Дано: AB = BC (по условию). Нужно доказать, что углы ∠1 = ∠2.

Доказательство:

Т.к. AB = BC, то треугольник ABC является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Углы ∠1 и ∠2 являются углами при основании AC треугольника ABC. Следовательно, ∠1 = ∠2, что и требовалось доказать.

2) Дано: BD - биссектриса равнобедренного треугольника ABC (AB = BC), AC = 18 см, ∠DBC = 21°. Нужно найти углы ABD, ADB и длину отрезка AD.

Решение:

Т.к. BD - биссектриса, то ∠ABD = ∠DBC = 21°.

В равнобедренном треугольнике ABC ∠ABC = 2 * ∠DBC = 2 * 21° = 42°.

∠BAC = ∠BCA = (180° - ∠ABC) / 2 = (180° - 42°) / 2 = 138° / 2 = 69°.

В треугольнике ABD ∠BAD = ∠BAC = 69°, ∠ABD = 21°.

∠ADB = 180° - ∠BAD - ∠ABD = 180° - 69° - 21° = 90°.

Т.к. ∠ADB = 90°, то треугольник ABD является прямоугольным. BD - биссектриса, следовательно, она также является высотой и медианой. Значит AD = DC = AC / 2 = 18 см / 2 = 9 см.

Ответ: ∠ABD = 21°, ∠ADB = 90°, AD = 9 см.