3. На рис. 68 ВЕ = 12 см, АЕ = 6 см, СЕ = 36 см, DE = = 18 см. Докажите подобие треугольников АВЕ и DCE и найдите отношение S₁ : S₂.

Для доказательства подобия треугольников \(\triangle ABE\) и \(\triangle DCE\) необходимо показать, что их углы равны и соответствующие стороны пропорциональны.

1. Углы \(\angle AEB\) и \(\angle DEC\) равны, так как они вертикальные.

2. Проверим пропорциональность соответствующих сторон:

$$\frac{AE}{DE} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$$ $$\frac{BE}{CE} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$$

Так как отношения сторон \(\frac{AE}{DE}\) и \(\frac{BE}{CE}\) равны, и угол между этими сторонами (вертикальные углы \(\angle AEB\) и \(\angle DEC\)) тоже равны, то треугольники \(\triangle ABE\) и \(\triangle DCE\) подобны по первому признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними).

Теперь найдем отношение площадей \(S_1\) и \(S_2\). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия \(k\).

Коэффициент подобия \(k\) равен:

$$k = \frac{AE}{DE} = \frac{BE}{CE} = \frac{1}{3}$$

Тогда отношение площадей равно:

$$\frac{S_1}{S_2} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$$

Ответ: Треугольники подобны, S₁ : S₂ = 1 : 9