На плоскости отметили две точки А и В. Известно, что АВ = 5. Найдите множество всех точек М таких, что AM² + BM² = 35. Чему равен радиус окружности, на которой лежат все такие точки М?

Обозначим середину отрезка AB точкой O. Введем систему координат так, чтобы точка O была началом координат, а отрезок AB лежал на оси абсцисс. Тогда координаты точек A и B будут равны $$A(-\frac{5}{2}; 0)$$ и $$B(\frac{5}{2}; 0)$$.

Пусть координаты точки M равны $$(x; y)$$. Тогда:

$$AM^2 = (x + \frac{5}{2})^2 + y^2$$

$$BM^2 = (x - \frac{5}{2})^2 + y^2$$

По условию, $$AM^2 + BM^2 = 35$$, следовательно:

$$(x + \frac{5}{2})^2 + y^2 + (x - \frac{5}{2})^2 + y^2 = 35$$

$$x^2 + 5x + \frac{25}{4} + y^2 + x^2 - 5x + \frac{25}{4} + y^2 = 35$$

$$2x^2 + 2y^2 + \frac{50}{4} = 35$$

$$2x^2 + 2y^2 = 35 - \frac{25}{2}$$

$$2x^2 + 2y^2 = \frac{70 - 25}{2}$$

$$2x^2 + 2y^2 = \frac{45}{2}$$

$$x^2 + y^2 = \frac{45}{4}$$

Получили уравнение окружности с центром в точке O(0; 0) и радиусом R, равным:

$$R = \sqrt{\frac{45}{4}} = \frac{\sqrt{45}}{2} = \frac{\sqrt{9 \cdot 5}}{2} = \frac{3\sqrt{5}}{2}$$

Ответ: Радиус окружности равен $$\frac{3\sqrt{5}}{2}$$.