На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 16 и ВС = 49. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Решение:

Окружность построена с центром А и проходит через точку С. Это означает, что радиус окружности равен АС.

\( R = AC = 16 \).

Из точки В к окружности проведена касательная. Отрезок касательной (обозначим его ВТ, где Т — точка касания) перпендикулярен радиусу, проведенному в точку касания (АТ).

Следовательно, \( \angle ATB = 90^{\circ} \).

Треугольник АТВ — прямоугольный с гипотенузой АВ.

Длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и СВ:

\( AB = AC + BC = 16 + 49 = 65 \).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника АТВ:

\( AB^2 = AT^2 + BT^2 \)

\( 65^2 = 16^2 + BT^2 \)

\( 4225 = 256 + BT^2 \)

\( BT^2 = 4225 - 256 = 3969 \)

\( BT = \sqrt{3969} = 63 \).

Длина отрезка касательной равна 63.

Ответ: 63