15. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 75 и ВС = 10. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Пусть дана окружность с центром A и радиусом AC = 75. Точка B находится на расстоянии AB = AC + CB = 75 + 10 = 85 от центра A. Пусть KT - касательная, проведенная из точки B к окружности, где T - точка касания. Тогда AT - радиус окружности, проведенный в точку касания, и $$AT \perp BT$$. Получаем прямоугольный треугольник ATB. По теореме Пифагора, $$BT^2 = AB^2 - AT^2 = 85^2 - 75^2 = (85 + 75)(85 - 75) = 160 * 10 = 1600$$. Следовательно, $$BT = \sqrt{1600} = 40$$. Ответ: 40