На кольцевой дорожке длиной 400 м проводится эстафета, длина одного этапа которой составляет 150 м. Какое наименьшее количество этапов может быть у эстафеты, если старт и финиш находятся в одном месте?

Для решения этой задачи нужно найти такое количество этапов, чтобы общая дистанция эстафеты была кратна длине дорожки (400 м), так как старт и финиш должны совпадать.

Длина одного этапа: 150 м.

Длина дорожки: 400 м.

Нужно найти наименьшее число этапов (n), при котором произведение 150 * n будет кратно 400.

Это означает, что 150n должно делиться на 400 без остатка.

Разложим 150 и 400 на простые множители:

$$150 = 2 * 3 * 5^2$$

$$400 = 2^4 * 5^2$$

Чтобы 150n делилось на 400, необходимо, чтобы произведение 150 и n содержало все множители 400 в нужной степени. То есть:

$$150n = 2^4 * 5^2 * k$$

Где k - это некоторое целое число.

Таким образом, n должно содержать недостающие множители, чтобы компенсировать разницу в разложении 150 и 400.

В 150 не хватает множителя $$2^3 = 8$$, чтобы получить $$2^4$$ как в 400, и не хватает множителя 1, чтобы получить $$5^2$$ как в 400.

Следовательно, n должно быть кратно 8, чтобы произведение 150n делилось на 400.

Теперь проверим:

Если n = 8:

$$150 * 8 = 1200$$

$$1200 / 400 = 3$$

Таким образом, 1200 делится на 400 без остатка, что означает, что после 8 этапов эстафеты старт и финиш совпадут.

Ответ: 8 этапов.