На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисован треугольник ABC. Найдите длину биссектрисы угла А треугольника.

Для начала определим координаты вершин треугольника, исходя из клетки 1x1:

• A: (3, 4)
• B: (5, 1)
• C: (1, 1)

Теперь найдем длины сторон треугольника:

• AB = \( \sqrt{(5-3)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \)
• AC = \( \sqrt{(1-3)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \)
• BC = \( \sqrt{(5-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4 \)

Треугольник ABC является равнобедренным, так как AB = AC. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Поэтому, чтобы найти длину биссектрисы угла А (обозначим ее $$l_a$$), нужно найти длину медианы, которая делит основание BC пополам.

Найдем середину стороны BC (точка M):

• M = \( \left( \frac{5+1}{2}, \frac{1+1}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}, \frac{2}{2} \right) = (3, 1) \)

Теперь найдем длину отрезка AM, который является биссектрисой (и медианой) угла А:

• AM = \( l_a = \sqrt{(3-3)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = \sqrt{0 + 9} = \sqrt{9} = 3 \)

Ответ: 3