На изображённом четырёхугольнике отмечены равные стороны. Известно, что \(\angle CBD = 63^\circ\), \(\angle ADC = 134^\circ\). Найти угол \(\angle ABD\).

Привет! Давай решим эту задачу вместе. Нам дан четырёхугольник, в котором отмечены равные стороны, и известны два угла: \(\angle CBD = 63^\circ\) и \(\angle ADC = 134^\circ\). Нам нужно найти угол \(\angle ABD\).

Из рисунка видно, что \(AD = DC\), значит треугольник \(ADC\) - равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть \(\angle DAC = \angle DCA\).

Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Для треугольника \(ADC\) имеем:

$$\angle DAC + \angle DCA + \angle ADC = 180^\circ$$

Так как \(\angle DAC = \angle DCA\), можно записать:

$$2 \cdot \angle DAC + 134^\circ = 180^\circ$$

Теперь найдем \(\angle DAC\):

$$2 \cdot \angle DAC = 180^\circ - 134^\circ$$ $$2 \cdot \angle DAC = 46^\circ$$ $$\angle DAC = \frac{46^\circ}{2} = 23^\circ$$

Теперь рассмотрим треугольник \(BCD\). Из рисунка видно, что \(BC = DC\), значит треугольник \(BCD\) - равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть \(\angle CBD = \angle CDB = 63^\circ\).

Сумма углов в треугольнике \(BCD\) равна 180 градусам. Значит:

$$\angle BCD + \angle CBD + \angle CDB = 180^\circ$$

Подставим известные значения:

$$\angle BCD + 63^\circ + 63^\circ = 180^\circ$$ $$\angle BCD = 180^\circ - 63^\circ - 63^\circ$$ $$\angle BCD = 180^\circ - 126^\circ = 54^\circ$$

Теперь найдем угол \(\angle ADB\). Мы знаем, что \(\angle ADC = 134^\circ\) и \(\angle CDB = 63^\circ\). Тогда:

$$\angle ADB = \angle ADC - \angle CDB$$ $$\angle ADB = 134^\circ - 63^\circ = 71^\circ$$

Теперь рассмотрим треугольник \(ABD\). Сумма углов в четырехугольнике \(ABCD\) равна 360 градусам. Мы знаем, что \(\angle DAC = 23^\circ\) и \(\angle BCD = 54^\circ\). Также мы знаем \(\angle ADC = 134^\circ\) и \(\angle CBD = 63^\circ\). Тогда \(\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD\).

Обозначим \(\angle ABD = x\). Сумма углов в четырехугольнике \(ABCD\) равна 360 градусам:

$$\angle DAC + \angle BCD + \angle ADC + \angle ABC = 360^\circ$$ $$23^\circ + 54^\circ + 134^\circ + (x + 63^\circ) = 360^\circ$$ $$274^\circ + x = 360^\circ$$ $$x = 360^\circ - 274^\circ = 86^\circ$$

Таким образом, \(\angle ABD = 86^\circ\).

Ответ: 86°