Доказательство

Для доказательства того, что четырехугольник APCQ является параллелограммом, нам нужно показать, что его противоположные стороны параллельны и равны.

1. Дано:

   • ABCD - параллелограмм.
   • PB = QD.

2. Свойства параллелограмма ABCD:

   • AB || CD и AB = CD (противоположные стороны параллельны и равны).
   • BC || AD и BC = AD (противоположные стороны параллельны и равны).
   • ∠ABC = ∠CDA (противоположные углы равны).
   • ∠BAD = ∠DCB (противоположные углы равны).

3. Рассмотрим треугольники ABP и CDQ:

   • AB = CD (из свойства параллелограмма ABCD).
   • PB = QD (дано).
   • ∠ABP = ∠CDQ (как части равных углов параллелограмма ABCD: ∠ABC = ∠CDA).

4. Следовательно, ΔABP ≅ ΔCDQ по двум сторонам и углу между ними (SAS).

5. Из равенства треугольников следует:

   • AP = CQ (как соответственные стороны равных треугольников).
   • ∠BAP = ∠DCQ (как соответственные углы равных треугольников).

6. Рассмотрим треугольники CBQ и ADP:

   • BC = AD (из свойства параллелограмма ABCD).
   • ∠CBQ = ∠ADP (как части равных углов параллелограмма ABCD: ∠CBA = ∠ADC).
   • BQ = DP (т.к. BD - общая диагональ, и BQ = BD - QD, DP = BD - PB, и PB = QD).

7. Следовательно, ΔCBQ ≅ ΔADP по двум сторонам и углу между ними (SAS).

8. Из равенства треугольников следует:

   • AQ = CP (как соответственные стороны равных треугольников).
   • ∠BCQ = ∠DAP (как соответственные углы равных треугольников).

9. Теперь мы имеем:

   • AP = CQ (доказано).
   • AQ = CP (доказано).

10. Поскольку противоположные стороны четырехугольника APCQ равны (AP = CQ и AQ = CP), то APCQ - параллелограмм по признаку параллелограмма.

Вывод: Четырехугольник APCQ является параллелограммом.