N1. Дано: \( \overset{\frown}{BC} = 110^{\circ} \). Найти: \( \angle B \)

Решение:

Угол \( \angle B \) является вписанным углом, который опирается на дугу \( \overset{\frown}{AC} \). Для нахождения \( \angle B \) нам нужно знать величину дуги \( \overset{\frown}{AC} \). Однако, в условии дана величина дуги \( \overset{\frown}{BC} \). Без дополнительной информации о центральном угле \( \angle BOC \) или других вписанных углах, определить \( \angle B \) невозможно. Если предположить, что \( \angle BAC \) — центральный угол, опирающийся на \( \overset{\frown}{BC} \), то \( \angle BAC = 110^{\circ} \). Но \( \angle B \) вписанный угол. По теореме о вписанном угле, \( \angle B = \frac{1}{2} \angle AOC \). Если \( \angle BOC = 110^{\circ} \) (как центральный), то \( \overset{\frown}{BC} = 110^{\circ} \). Угол \( \angle BAC \) вписанный и опирается на дугу \( \overset{\frown}{BC} \), следовательно \( \angle BAC = \frac{1}{2} \overset{\frown}{BC} = \frac{1}{2} \cdot 110^{\circ} = 55^{\circ} \). Но нам нужно найти \( \angle B \), который опирается на дугу \( \overset{\frown}{AC} \). Не хватает данных.

Предположим, что в условии имелось в виду: Дано: \( \overset{\frown}{AC} = 110^{\circ} \). Тогда:

1. Угол \( \angle B \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( \overset{\frown}{AC} \).
2. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.
3. \( \angle B = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AC} = \frac{1}{2} \cdot 110^{\circ} = 55^{\circ} \).

Ответ: 55^{\(\circ\)}