Решение задачи 120

Дано: ΔABC, AM – медиана, AM = BM.

Доказать: один из углов ΔABC равен сумме двух других углов.

Доказательство:

1) Т.к. AM – медиана, то BM = MC.

Т.к. AM = BM, то AM = MC = BM.

2) Рассмотрим ΔABM. Т.к. AM = BM, то ΔABM – равнобедренный с основанием AB.

Следовательно, ∠MAB = ∠MBA.

3) Рассмотрим ΔAMC. Т.к. AM = MC, то ΔAMC – равнобедренный с основанием AC.

Следовательно, ∠MAC = ∠MCA.

4) Пусть ∠MAB = ∠MBA = x, ∠MAC = ∠MCA = y.

Тогда ∠BAC = ∠MAB + ∠MAC = x + y.

5) ∠BMC – внешний угол ΔABM, следовательно, ∠BMC = ∠MAB + ∠MBA = x + x = 2x.

6) Рассмотрим ΔABC.

∠ABC = ∠MBA = x

∠BCA = ∠MCA = y

∠BAC = x + y

Тогда ∠ABC + ∠BCA = x + y = ∠BAC.

Следовательно, ∠BAC = ∠ABC + ∠BCA.

Что и требовалось доказать.