Решение:

a) Координаты векторов MN и PK:

• MN = (3 - (-5); -1 - 7) = (8; -8)
• PK = (-5 - 3; -3 - 5) = (-8; -8)

б) Длина вектора NP:

• NP = (3 - 3; 5 - (-1)) = (0; 6)
• |NP| = $$ \sqrt{0^2 + 6^2} = \sqrt{36} = 6 $$

в) Координаты точек A и B:

• A - середина MN: $$ A = (\frac{-5 + 3}{2}; \frac{7 + (-1)}{2}) = (\frac{-2}{2}; \frac{6}{2}) = (-1; 3) $$
• B - середина PK: $$ B = (\frac{3 + (-5)}{2}; \frac{5 + (-3)}{2}) = (\frac{-2}{2}; \frac{2}{2}) = (-1; 1) $$

г) Длина вектора AB и MK:

• AB = (-1 - (-1); 1 - 3) = (0; -2)
• |AB| = $$ \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2 $$
• MK = (-5 - (-5); -3 - 7) = (0; -10)
• |MK| = $$ \sqrt{0^2 + (-10)^2} = \sqrt{100} = 10 $$

д) Уравнение окружности с диаметром NP:

• Центр окружности - середина NP: O = $$ (\frac{3+3}{2}; \frac{5+(-1)}{2}) = (3; 2) $$
• Радиус окружности: R = |NP| / 2 = 6 / 2 = 3
• Уравнение окружности: $$ (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 3^2 $$ $$ (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 9 $$

е) Уравнение прямой NK:

• N(3; -1), K(-5; -3)
• Уравнение прямой: $$ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} $$
• $$ \frac{x - 3}{-5 - 3} = \frac{y - (-1)}{-3 - (-1)} $$
• $$ \frac{x - 3}{-8} = \frac{y + 1}{-2} $$
• $$ -2(x - 3) = -8(y + 1) $$
• $$ -2x + 6 = -8y - 8 $$
• $$ 2x - 8y - 14 = 0 $$
• $$ x - 4y - 7 = 0 $$