4. log₂ x+4 + log₂ x²=5

Решим логарифмическое уравнение: $$log_2 (x+4) + log_2 (x^2) = 5$$

Область определения логарифма:

• $$x + 4 > 0 Rightarrow x > -4$$
• $$x^2 > 0 Rightarrow x eq 0$$

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

$$log_2 ((x+4) cdot x^2) = 5$$

Избавимся от логарифма, используя определение:

$$(x+4) cdot x^2 = 2^5$$

$$x^3 + 4x^2 = 32$$

$$x^3 + 4x^2 - 32 = 0$$

Подбором находим корень x = 2:

$$2^3 + 4 cdot 2^2 - 32 = 8 + 16 - 32 = 0$$

Разделим многочлен $$x^3 + 4x^2 - 32$$ на $$(x-2)$$ столбиком:

        x^2 + 6x + 16
x - 2 | x^3 + 4x^2 + 0x - 32
       -x^3 - 2x^2
        ----------
             6x^2 + 0x
           -6x^2 - 12x
           ----------
                 12x - 32
               -12x - 24
               ----------
                      -8

В результате деления получаем: $$x^2 + 6x + 16 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$x^2 + 6x + 16 = 0$$

Дискриминант: $$D = 6^2 - 4 cdot 1 cdot 16 = 36 - 64 = -28$$

Так как дискриминант отрицательный, квадратное уравнение не имеет вещественных корней.

Единственный вещественный корень: $$x = 2$$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условиям ОДЗ:

• $$x = 2 > -4$$
• $$x = 2 eq 0$$

Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: x = 2.