Линия пересечения сферы и плоскости, удаленной от центра сферы на 8, имеет длину 12π. Найдите площадь поверхности сферы.

Пусть радиус сферы равен R, а радиус сечения (окружности) равен r. Длина окружности сечения равна $$2 \pi r = 12 \pi$$, откуда $$r = 6$$.

Расстояние от центра сферы до плоскости сечения равно 8.

Тогда радиус сферы можно найти по теореме Пифагора: $$R^2 = r^2 + 8^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$. Следовательно, $$R = 10$$.

Площадь поверхности сферы равна $$4 \pi R^2 = 4 \pi (10^2) = 400 \pi$$.

Ответ: 400π