lim x→∞ ((x-2)/(3x+1))^(2x) равен

Вычислим предел $$lim_{x \to \infty} \left( \frac{x-2}{3x+1} \right)^{2x}$$. Сначала рассмотрим выражение внутри скобок: $$\frac{x-2}{3x+1} = \frac{x(1 - \frac{2}{x})}{x(3 + \frac{1}{x})} = \frac{1 - \frac{2}{x}}{3 + \frac{1}{x}}$$ Когда $$x$$ стремится к бесконечности, $$\frac{2}{x}$$ и $$\frac{1}{x}$$ стремятся к нулю. Поэтому: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x-2}{3x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{3 + \frac{1}{x}} = \frac{1 - 0}{3 + 0} = \frac{1}{3}$$ Теперь рассмотрим исходный предел: $$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x-2}{3x+1} \right)^{2x} = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{3} \right)^{2x}$$ Так как $$\frac{1}{3}$$ меньше 1, то при возведении в степень, стремящуюся к бесконечности, выражение будет стремиться к 0. $$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{3} \right)^{2x} = 0$$ Ответ: 0