Решение:

1) Найдем координаты всех вершин куба:

Для начала определим длину ребра куба. Так как ось $$z$$ направлена вверх, а точка $$C$$ имеет координату $$z = 0$$, то точка $$B_1$$ лежит выше точки $$C$$ на расстоянии, равном длине ребра куба.

Вдоль оси $$y$$ от точки $$O$$ до точки $$C$$ у нас 4 единицы. Вдоль оси $$x$$ от точки $$O$$ до точки $$C$$ у нас -2 единицы. Значит ребро куба равно 4.

• $$A(2; 0; 0)$$
• $$B(2; 4; 0)$$
• $$C(-2; 4; 0)$$
• $$D(-2; 0; 0)$$
• $$A_1(2; 0; 4)$$
• $$B_1(2; 4; 4)$$
• $$C_1(-2; 4; 4)$$
• $$D_1(-2; 0; 4)$$

2) Найдем координаты векторов $$\vec{OC}$$, $$\vec{OB_1}$$ и $$\vec{OK}$$ и разложите их по векторам $$\vec{i}$$, $$\vec{j}$$ и $$\vec{k}$$.

• $$\vec{OC} = -2\vec{i} + 4\vec{j} + 0\vec{k}$$
• $$\vec{OB_1} = 2\vec{i} + 4\vec{j} + 4\vec{k}$$
• $$\vec{OK} = \frac{1}{2}(\vec{OD_1} + \vec{OB_1}) = \frac{1}{2}((-2\vec{i} + 0\vec{j} + 4\vec{k}) + (2\vec{i} + 4\vec{j} + 4\vec{k})) = 0\vec{i} + 2\vec{j} + 4\vec{k}$$

Вторая задача:

Даны векторы $$\vec{a}\{-1; 3; -2\}$$, $$\vec{b}\{2; -1; 3\}$$ и $$\vec{p}\{-3; -1; -4\}$$. Будут ли коллинеарными векторы $$\vec{a}+2\vec{b}$$ и $$\vec{p}$$?

$$\vec{a} + 2\vec{b} = (-1 + 2*2; 3 + 2*(-1); -2 + 2*3) = (3; 1; 4)$$

Чтобы векторы $$\vec{a} + 2\vec{b}$$ и $$\vec{p}$$ были коллинеарны, необходимо, чтобы их координаты были пропорциональны:

$$\frac{3}{-3} = \frac{1}{-1} = \frac{4}{-4} = -1$$

Так как пропорция сохраняется, то векторы коллинеарны.

Ответ: векторы $$\vec{a}+2\vec{b}$$ и $$\vec{p}$$ коллинеарны.