Контрольные задания > 2.5. Косинус угла между прямыми на гранях призмы В правильной треугольной призме (в основании лежат правильные треугольники) все рёбра равны 1. Найдите косинус угла между прямыми $AD_1$ и $CE_1$, где $D_1$ и $E_1$ – соответственно середины рёбер $A_1C_1$ и $B_1C_1$.
Вопрос:

2.5. Косинус угла между прямыми на гранях призмы В правильной треугольной призме (в основании лежат правильные треугольники) все рёбра равны 1. Найдите косинус угла между прямыми $$AD_1$$ и $$CE_1$$, где $$D_1$$ и $$E_1$$ – соответственно середины рёбер $$A_1C_1$$ и $$B_1C_1$$.

Ответ:

  1. Обозначим длину ребра призмы через $$a$$. В данной задаче $$a = 1$$.
  2. Введем систему координат с началом в точке A, осью $$x$$ вдоль AB, осью $$y$$ в плоскости основания перпендикулярно AB, и осью $$z$$ вдоль $$AA_1$$. Тогда координаты точек будут следующими:
    • $$A(0, 0, 0)$$
    • $$B(a, 0, 0)$$
    • $$C(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$$
    • $$A_1(0, 0, a)$$
    • $$C_1(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, a)$$
    • $$D_1(\frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, a)$$
    • $$E_1(\frac{3a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, a)$$
  3. Найдем координаты векторов $$AD_1$$ и $$CE_1$$:
    • $$\vec{AD_1} = (\frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, a)$$
    • $$\vec{CE_1} = (\frac{3a}{4} - \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{4} - \frac{a\sqrt{3}}{2}, a - 0) = (\frac{a}{4}, -\frac{a\sqrt{3}}{4}, a)$$
  4. Найдем косинус угла между векторами $$AD_1$$ и $$CE_1$$ по формуле: $$cos(\theta) = \frac{\vec{AD_1} \cdot \vec{CE_1}}{|\vec{AD_1}| \cdot |\vec{CE_1}|}$$
    • $$\vec{AD_1} \cdot \vec{CE_1} = (\frac{a}{4})(\frac{a}{4}) + (\frac{a\sqrt{3}}{4})(-\frac{a\sqrt{3}}{4}) + (a)(a) = \frac{a^2}{16} - \frac{3a^2}{16} + a^2 = a^2 - \frac{2a^2}{16} = \frac{14a^2}{16} = \frac{7a^2}{8}$$
    • $$|\vec{AD_1}| = \sqrt{(\frac{a}{4})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{4})^2 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{16} + \frac{3a^2}{16} + a^2} = \sqrt{\frac{4a^2}{16} + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$$
    • $$|\vec{CE_1}| = \sqrt{(\frac{a}{4})^2 + (-\frac{a\sqrt{3}}{4})^2 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{16} + \frac{3a^2}{16} + a^2} = \sqrt{\frac{4a^2}{16} + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$$
  5. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла: $$cos(\theta) = \frac{\frac{7a^2}{8}}{\frac{a\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{\frac{7a^2}{8}}{\frac{5a^2}{4}} = \frac{7a^2}{8} \cdot \frac{4}{5a^2} = \frac{7 \cdot 4}{8 \cdot 5} = \frac{7}{2 \cdot 5} = \frac{7}{10} = 0.7$$
  6. Так как $$a = 1$$, то косинус угла равен 0.7.
Ответ: 0,7
Смотреть решения всех заданий с листа

Похожие