Корни квадратного уравнения x² - x + q = 0 удовлетворяют условию 7x₁ + 6x₂ = 0. Найдите эти корни и коэффициент q.

Решение:

Дано квадратное уравнение \( x^2 - x + q = 0 \).

По теореме Виета для данного уравнения:

\( x_1 + x_2 = -(-1)/1 = 1 \)

\( x_1 \cdot x_2 = q/1 = q \)

Из первого уравнения выразим \( x_2 \):

\( x_2 = 1 - x_1 \)

Подставим это во второе уравнение:

\( x_1 \cdot (1 - x_1) = q \)

\( x_1 - x_1^2 = q \) (1)

Также дано условие:

\( 7x_1 + 6x_2 = 0 \)

Подставим \( x_2 = 1 - x_1 \) в это условие:

\( 7x_1 + 6(1 - x_1) = 0 \)

\( 7x_1 + 6 - 6x_1 = 0 \)

\( x_1 + 6 = 0 \)

\( x_1 = -6 \)

Теперь найдём \( x_2 \):

\( x_2 = 1 - x_1 = 1 - (-6) = 1 + 6 = 7 \)

Проверим условие \( 7x_1 + 6x_2 = 0 \):

\( 7(-6) + 6(7) = -42 + 42 = 0 \). Условие выполнено.

Теперь найдём коэффициент \( q \) из уравнения (1):

\( q = x_1 - x_1^2 = -6 - (-6)^2 = -6 - 36 = -42 \)

Или, используя \( q = x_1 \cdot x_2 \):

\( q = (-6) \cdot 7 = -42 \)

Ответ: корни \( x_1 = -6, x_2 = 7 \), коэффициент \( q = -42 \).