КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ « ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ». 2 ВАРИАНТ 1. Диагонали прямоугольника МНКР пересекаются в точке О, угол МОН равен 64°. Найдите угол ОМР. (3 б.) 2. Найдите углы равнобокой трапеции, если один из ее углов равен 70°.(2 б.) 3. Диагонали прямоугольника АВСД пересекаются в точке О. Найдите угол ВОА, если угол АОВ равен 65°. (4 б.) 4. В равнобокой трапеции сумма углов при меньшем основании равна 210°. Найдите углы трапеции. (4 б.) 5. Периметр параллелограмма 60 см. Одна из его сторон на 6 см меньше другой. Найдите длины сторон параллелограмма. (5 б.) 6. На стороне ВС параллелограмма АВСД взята точка М так, что АВ = ВМ. а) Докажите, что АМ - "биссектриса угла ВАД. б) найдите периметр параллелограмма, если СД = 8 см, СМ = 6 см.(8 б.)

Рассмотрим каждое задание по порядку: 1. Диагонали прямоугольника МНКР пересекаются в точке О, угол МОН равен 64°. Найдите угол ОМР. В прямоугольнике диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам, следовательно, MO = ON. Значит, треугольник MON - равнобедренный. Тогда углы при основании MN равны. $$\angle OMN = \angle ONM = (180^{\circ} - \angle MOH) / 2 = (180^{\circ} - 64^{\circ}) / 2 = 116^{\circ} / 2 = 58^{\circ}$$ Так как MNHK - прямоугольник, то $$\angle HMN = 90^{\circ}$$. Тогда $$\angle OMP = \angle HMN - \angle OMN = 90^{\circ} - 58^{\circ} = 32^{\circ}$$. 2. Найдите углы равнобокой трапеции, если один из ее углов равен 70°. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Пусть данный угол в 70° находится при большем основании. Тогда второй угол при большем основании также равен 70°. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. Тогда углы при меньшем основании равны: $$180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$$. Ответ: 70°, 70°, 110°, 110°. 3. Диагонали прямоугольника АВСД пересекаются в точке О. Найдите угол ВОА, если угол АОВ равен 65°. Углы BOA и AOB - смежные, поэтому их сумма равна 180°. Тогда $$\angle BOA = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ}$$. 4. В равнобокой трапеции сумма углов при меньшем основании равна 210°. Найдите углы трапеции. Так как трапеция равнобокая, углы при каждом основании равны. Следовательно, каждый из углов при меньшем основании равен $$210^{\circ} / 2 = 105^{\circ}$$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. Тогда углы при большем основании равны: $$180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$$. Ответ: 75°, 75°, 105°, 105°. 5. Периметр параллелограмма 60 см. Одна из его сторон на 6 см меньше другой. Найдите длины сторон параллелограмма. Пусть меньшая сторона равна x см, тогда большая сторона равна (x + 6) см. Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон, то есть $$2(x + x + 6) = 60$$. $$2(2x + 6) = 60$$ $$4x + 12 = 60$$ $$4x = 48$$ $$x = 12$$ Меньшая сторона равна 12 см, тогда большая сторона равна $$12 + 6 = 18$$ см. Ответ: 12 см, 12 см, 18 см, 18 см. 6. На стороне ВС параллелограмма АВСД взята точка М так, что АВ = ВМ. а) Докажите, что АМ - биссектриса угла ВАД. б) найдите периметр параллелограмма, если СД = 8 см, СМ = 6 см. а) Рассмотрим треугольник ABM. Так как AB = BM, то треугольник ABM - равнобедренный. Тогда углы при основании AM равны, то есть $$\angle BAM = \angle BMA$$. Так как ABCD - параллелограмм, то BC || AD, следовательно, BM || AD. Тогда углы BMA и MAD - накрест лежащие углы при параллельных прямых BM и AD и секущей AM, следовательно, $$\angle BMA = \angle MAD$$. Из равенств $$\angle BAM = \angle BMA$$ и $$\angle BMA = \angle MAD$$ следует, что $$\angle BAM = \angle MAD$$, а это значит, что AM - биссектриса угла BAD. б) Так как ABCD - параллелограмм, то BC = AD и AB = CD. По условию CD = 8 см, следовательно, AB = 8 см. По условию CM = 6 см. Так как M лежит на стороне BC, то BC = BM + CM. Так как AB = BM, то BM = 8 см. Тогда BC = 8 + 6 = 14 см. Следовательно, AD = 14 см. Периметр параллелограмма ABCD равен: $$P = 2(AB + BC) = 2(8 + 14) = 2 \cdot 22 = 44$$ см.