Контрольная работа № 3. Вариант-1 №1. Рисунок 1 Дано: LA = LR, OD=4, DO=6, AO=5. Найти: а) OR. 6) AC: BD: a) SAOC SHO

Ответ: смотри решение

Решение:

а) Пусть OR = x, тогда OC = AO - OR = 5 - x. Так как \(\angle A = \angle B\), то \(\angle COA = \angle DOB\) (вертикальные углы). Следовательно, \(\triangle AOC \sim \triangle BOD\) (по двум углам). Из подобия треугольников следует пропорция:

\[\frac{AO}{BO} = \frac{OC}{OD}\]

Используем свойство пропорции:

\[\frac{5}{6+x} = \frac{5-x}{4}\]

Перемножаем крест накрест:

\[5 \cdot 4 = (5-x)(6+x)\] \[20 = 30 + 5x - 6x - x^2\] \[x^2 + x - 10 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 1 + 40 = 41\] \[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{41}}{2} \approx 2.70\] \[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{41}}{2} < 0 \quad \text{(не подходит, так как длина не может быть отрицательной)}\]

Итак, OR \(\approx 2.70\).

б) \(\frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO} = \frac{5}{6 + OR} = \frac{5}{6 + 2.7} = \frac{5}{8.7} \approx 0.57\)

в) Площади треугольников \(\triangle AOC\) и \(\triangle BOD\) относятся как квадраты соответствующих сторон. Так как \(\triangle AOC \sim \triangle BOD\), то:

\[\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = \left(\frac{AO}{BO}\right)^2 = \left(\frac{5}{8.7}\right)^2 \approx 0.33\]

Отношение площадей треугольников \(\triangle AOC\) и \(\triangle AOD\) равно отношению их оснований OC и OD, так как высоты, проведенные к этим основаниям, одинаковы.

Площадь \(\triangle AOD\) можно найти, используя площадь \(\triangle AOC\):

\[\frac{S_{AOC}}{S_{AOD}} = \frac{OC}{OD}\] \[\frac{S_{AOC}}{S_{AOD}} = \frac{5-x}{4}\] \[S_{AOC} = \frac{5 - 2.70}{4} \cdot S_{AOD}\]

Подставим \(S_{AOD} = 45\):

\[S_{AOC} = \frac{2.3}{4} \cdot 45 \approx 25.88\text{ см}^2\]

Ответ:

а) OR \(\approx 2.70\)

б) \(\frac{AC}{BD} \approx 0.57\)

в) \(S_{AOC} \approx 25.88\text{ см}^2\)

Ответ: смотри решение