Контрольная работа № 4. Тема. Векторы. B-1. 1. Даны точки А (-2; 3), В (1; −1), C (2; 4). Найдите: 1) координаты векторов АВ и СА; 2) модули векторов АВ и СА; 3) координаты вектора MN = 3AB – 2CA; 4) скалярное произведение векторов АВ и СА; 5) косинус угла между векторами АВ и СА. 2. Начертите треугольник АВС. Постройте вектор: 1) AC + CB; 2) BC - BA; 3) AB + AC. 3. Даны векторы а(2; 6) и 6(-3; k). При каком значении k векторы а и в: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны? 4. На сторонах АВ и ВС параллелограмма ABCD отметили соответственно точки F и Е так, что AF : FB = 1 : 4, BE: EC = 1: 3. Выразите вектор EF через векторы АВ = а и AD = b. 5. Найдите косинус угла между векторами а = n + 2т и Б = 3п-т, если т⊥n, |m|=|n|=1.

Начнем решать задачи по порядку.

1. Даны точки А (-2; 3), В (1; −1), C (2; 4). Найдите:

1) координаты векторов АВ и СА;

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала.

$$\overrightarrow{AB} = (1 - (-2); -1 - 3) = (3; -4)$$ $$\overrightarrow{CA} = (-2 - 2; 3 - 4) = (-4; -1)$$ Ответ: $$\overrightarrow{AB} = (3; -4)$$, $$\overrightarrow{CA} = (-4; -1)$$

2) модули векторов АВ и СА;

Модуль вектора находится по формуле: $$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$, где x и y - координаты вектора.

$$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ $$|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$$ Ответ: $$|\overrightarrow{AB}| = 5$$, $$|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{17}$$

3) координаты вектора MN = 3AB – 2CA;

Умножение вектора на число означает умножение каждой координаты вектора на это число.

$$3\overrightarrow{AB} = (3 \cdot 3; 3 \cdot (-4)) = (9; -12)$$ $$2\overrightarrow{CA} = (2 \cdot (-4); 2 \cdot (-1)) = (-8; -2)$$ $$\overrightarrow{MN} = 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CA} = (9 - (-8); -12 - (-2)) = (17; -10)$$ Ответ: $$\overrightarrow{MN} = (17; -10)$$

4) скалярное произведение векторов АВ и СА;

Скалярное произведение векторов находится по формуле: $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$$, где $$x_1, y_1$$ - координаты вектора a, $$x_2, y_2$$ - координаты вектора b.

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = 3 \cdot (-4) + (-4) \cdot (-1) = -12 + 4 = -8$$ Ответ: $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = -8$$

5) косинус угла между векторами АВ и СА.

Косинус угла между векторами находится по формуле: $$cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|}$$, где $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$$ - скалярное произведение векторов a и b, $$|\overrightarrow{a}|, |\overrightarrow{b}|$$ - модули векторов a и b.

$$cos(\alpha) = \frac{-8}{5 \cdot \sqrt{17}} = -\frac{8}{5\sqrt{17}} = -\frac{8\sqrt{17}}{5 \cdot 17} = -\frac{8\sqrt{17}}{85}$$ Ответ: $$cos(\alpha) = -\frac{8\sqrt{17}}{85}$$

2. Начертите треугольник АВС. Постройте вектор:

1) AC + CB;

Вектор AC + CB = AB. Правило треугольника или правило сложения векторов.

Ответ: AC + CB = AB

2) BC - BA;

Вектор BC - BA = AC

Ответ: BC - BA = AC

3) AB + AC.

Вектор AB + AC = AD, где AD - диагональ параллелограмма, построенного на векторах AB и AC.

Ответ: AB + AC = AD, где AD - диагональ параллелограмма, построенного на векторах AB и AC.

3. Даны векторы а(2; 6) и b(-3; k). При каком значении k векторы а и b: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?

1) коллинеарны;

Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны.

$$\frac{2}{-3} = \frac{6}{k}$$ $$k = \frac{6 \cdot (-3)}{2} = -9$$ Ответ: k = -9

2) перпендикулярны?

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0.

$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot (-3) + 6 \cdot k = 0$$ $$-6 + 6k = 0$$ $$6k = 6$$ $$k = 1$$ Ответ: k = 1

4. На сторонах АВ и ВС параллелограмма ABCD отметили соответственно точки F и Е так, что AF : FB = 1 : 4, BE: EC = 1: 3. Выразите вектор EF через векторы АВ = а и AD = b.

$$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AF}$$

$$\overrightarrow{EA} = \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BE}$$

$$\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{a}$$

$$\overrightarrow{BE} = \frac{1}{4} \overrightarrow{BC} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AD} = \frac{1}{4} \overrightarrow{b}$$

$$\overrightarrow{EA} = -\overrightarrow{a} - \frac{1}{4} \overrightarrow{b}$$

$$\overrightarrow{AF} = \frac{1}{5} \overrightarrow{AB} = \frac{1}{5} \overrightarrow{a}$$

$$\overrightarrow{EF} = -\overrightarrow{a} - \frac{1}{4} \overrightarrow{b} + \frac{1}{5} \overrightarrow{a} = -\frac{4}{5} \overrightarrow{a} - \frac{1}{4} \overrightarrow{b}$$

Ответ: $$\overrightarrow{EF} = -\frac{4}{5} \overrightarrow{a} - \frac{1}{4} \overrightarrow{b}$$

5. Найдите косинус угла между векторами а = n + 2т и b = 3n-m, если m⊥n, |m|=|n|=1.

$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (\overrightarrow{n} + 2\overrightarrow{m}) \cdot (3\overrightarrow{n} - \overrightarrow{m}) = 3\overrightarrow{n}^2 - \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{m} + 6\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} - 2\overrightarrow{m}^2$$

Т.к. векторы m и n перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0.

$$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{m} = \overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = 0$$

Т.к. $$|\overrightarrow{m}| = |\overrightarrow{n}| = 1$$, то $$\overrightarrow{n}^2 = |\overrightarrow{n}|^2 = 1$$ и $$\overrightarrow{m}^2 = |\overrightarrow{m}|^2 = 1$$

$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3 \cdot 1 - 0 + 0 - 2 \cdot 1 = 1$$

$$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{n} + 2\overrightarrow{m}| = \sqrt{(\overrightarrow{n} + 2\overrightarrow{m})^2} = \sqrt{\overrightarrow{n}^2 + 4\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{m} + 4\overrightarrow{m}^2} = \sqrt{1 + 0 + 4} = \sqrt{5}$$ $$|\overrightarrow{b}| = |3\overrightarrow{n} - \overrightarrow{m}| = \sqrt{(3\overrightarrow{n} - \overrightarrow{m})^2} = \sqrt{9\overrightarrow{n}^2 - 6\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{m} + \overrightarrow{m}^2} = \sqrt{9 + 0 + 1} = \sqrt{10}$$ $$cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|} = \frac{1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$$ Ответ: $$cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{10}$$