18. Коля и Ира не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Коля думает, что нужно от числителя отнять 2, а от знаменателя отнять 1. Коля делает так: 4/2 = 4-2/2-1 = 2/1. Ира считает, что нужно от числителя отнять 4, а от знаменателя отнять 3. Ира делает так: 8/6 = 8-4/6-3 = 4/3. Коля и Ира (не обязательно по очереди) двадцать раз «сократили» дробь 2018/2019 по своим правилам и получили дробь с числителем 1966. Найдите знаменатель получившейся дроби. Запишите решение и ответ.

Ответ: 1947/1948

1. Пусть a - числитель, b - знаменатель.
2. Коля уменьшает числитель на 2, знаменатель на 1. Ира уменьшает числитель на 4, знаменатель на 3.
3. Обозначим количество раз, которое Коля «сократил» дробь, как k, а Ира - как i. Тогда: \[ a_{new} = a - 2k - 4i \] \[ b_{new} = b - k - 3i \]
4. Всего они «сократили» дробь 20 раз, значит: \[ k + i = 20 \]
5. Нам дано, что новый числитель равен 1966: \[ 1966 = 2018 - 2k - 4i \] \[ 2k + 4i = 2018 - 1966 \] \[ 2k + 4i = 52 \] \[ k + 2i = 26 \]
6. Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} k + i = 20 \\ k + 2i = 26 \end{cases} \]
7. Вычитаем первое уравнение из второго: \[ i = 6 \]
8. Тогда: \[ k = 20 - i = 20 - 6 = 14 \]
9. Теперь найдем новый знаменатель: \[ b_{new} = 2019 - k - 3i = 2019 - 14 - 3 \cdot 6 = 2019 - 14 - 18 = 1987 \]

Ответ: 1987