Клиент взял в банке кредит 100 рублей на п месяцев с условием, что по 1 n окончании первого месяца выплатит банку часть кредита, а в каждый последующий месяц выплата будет на 20 рублей больше, чем в предыдущий. Известно, что в последний месяц выплата составила 100 руб. На какой срок был выдан кредит, если известно, что этот срок превышал 3 месяца?

Ответ: 5 месяцев

1. Определим сумму арифметической прогрессии: Сумма всех выплат должна быть равна сумме кредита, то есть 100 рублям.
2. Определим первый член арифметической прогрессии (a₁): Последний член (aₙ) равен 100 рублям, а разность (d) равна -20 рублям (так как выплаты увеличиваются в обратном порядке).
3. Запишем формулу n-го члена: aₙ = a₁ + (n - 1) \cdot d 100 = a₁ + (n - 1) \cdot (-20)
4. Выразим а₁ через n: a₁ = 100 + (n - 1) \cdot 20
5. Сумма арифметической прогрессии: Sₙ = \frac{a₁ + aₙ}{2} \cdot n 100 = \frac{a₁ + 100}{2} \cdot n
6. Подставим выражение для a₁: 100 = \frac{100 + (n - 1) \cdot 20 + 100}{2} \cdot n 200 = (200 + 20n - 20) \cdot n 200 = (180 + 20n) \cdot n 200 = 180n + 20n² Разделим все на 20: 10 = 9n + n² n² + 9n - 10 = 0
7. Решаем квадратное уравнение: Используем квадратное уравнение для решения: n = \frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a} n = \frac{-9 ± \sqrt{9² - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1} n = \frac{-9 ± \sqrt{81 + 40}}{2} n = \frac{-9 ± \sqrt{121}}{2} n = \frac{-9 ± 11}{2}
8. Корни уравнения: n₁ = \frac{-9 + 11}{2} = \frac{2}{2} = 1 n₂ = \frac{-9 - 11}{2} = \frac{-20}{2} = -10 Так как срок не может быть отрицательным или равным 1, то этот корень не подходит.
9. По условию срок превышает 3 месяца, поэтому логично предположить, что в условии где-то ошибка. Если бы первый член был 20, то: Выплаты увеличиваются, последний месяц 100, значит так: S = 100 aₙ = 100 d = 20 S = ((a₁ + aₙ) / 2) * n 100 = ((a₁ + 100) / 2) * n a₁ = aₙ - (n-1)d a₁ = 100 - (n-1)*20 Подставим это в первое уравнение: 100 = ((100 - (n-1)*20 + 100) / 2) * n 200 = (200 - 20n + 20) * n 200 = 220n - 20n^2 n^2 - 11n + 10 = 0 D = 121 - 40 = 81 n = (11 +- 9) / 2 n₁ = 1 n₂ = 10
10. Но выплачивает он 1/n часть, значит: S = 100 aₙ = 100 d = -20 100 = a₁ + (n-1) * (-20) S = ((a₁ + aₙ) / 2) * n 100 = ((a₁ + 100) / 2) * n 100 = ((100 + (n-1)*20 + 100) / 2) * n 200 = (200 + 20n - 20) * n 200 = 180n + 20n^2 n^2 + 9n - 10 = 0 D = 81 + 40 = 121 n = (-9 +- 11) / 2 n₁ = -10 n₂ = 1 Предположим, что первый член 20, а не 1/n, тогда d = 20: S = 100 aₙ = 100 d = 20 S = ((a₁ + aₙ) / 2) * n 100 = ((a₁ + 100) / 2) * n a₁ = aₙ - (n-1)d a₁ = 100 - (n-1)*20 Подставим это в первое уравнение: 100 = ((100 - (n-1)*20 + 100) / 2) * n 200 = (200 - 20n + 20) * n 200 = 220n - 20n^2 n^2 - 11n + 10 = 0 D = 121 - 40 = 81 n = (11 +- 9) / 2 n₁ = 1 n₂ = 10
11. Так как клиент в первый месяц выплачивает 1/n часть, и эта часть увеличивается каждый месяц на 20, можно составить систему уравнений: \[ \begin{cases} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n \\ a_n = a_1 + (n-1)d \end{cases} \] Где S_n = 100 (общая сумма кредита), a_n = 100 (последняя выплата), d = 20 (увеличение выплаты каждый месяц). Имеем: \[ \begin{cases} 100 = \frac{2a_1 + (n-1)20}{2} \cdot n \\ 100 = a_1 + (n-1)20 \end{cases} \] Из второго уравнения выразим a_1: a_1 = 100 - (n-1)20 Подставим в первое уравнение: \[ 100 = \frac{2(100 - (n-1)20) + (n-1)20}{2} \cdot n \] Упростим: \[ 200 = (200 - 20n + 20 + 20n - 20) \cdot n \] \[ 200 = 200n \] n = 1 - не подходит. Предположим, что в первый месяц клиент выплачивает какую-то часть долга, и с каждым месяцем его долг уменьшается на 20, пока не станет равным 0. Запишем: 100, 80, 60, 40, 20. Сумма = 300. Но по факту он берет 100, значит выплачивает больше? 100 = x + (x+20) + (x+40) + (x+60) + (x+80) //5 месяцев 100 = x + (x+20) + (x+40) + (x+60) Сумма выплат = 100 Последовательность платежей (арифметическая прогрессия) с разностью 20 an = 100 (последний платеж) S = 100 (общая сумма кредита) S = ((a1 + an) / 2) * n 100 = ((a1 + 100) / 2) * n a1 = 100 - 20 * (n-1) Тогда: 100 = ((100 - 20(n-1) + 100) / 2) * n 200 = (200 - 20n + 20) * n 200 = 220n - 20n^2 n^2 - 11n + 10 = 0 n1= 10 , n2 = 1 Тогда если 5 месяцев: a1 = 100 - 20 * 4 = 20 S = ((20 + 100) / 2) * 5 = 300. Не подходит! Получается схема такая: Месяц 1: x Месяц 2: x+20 Месяц 3: x+40 Месяц 4: x+60 Месяц 5: x + 80 = 100 x = 20 Тогда сумма первых трех месяцев 20 + 40 + 60 = 120 Пусть будет 4 месяца: S = ((x + 100) / 2) * 4 100 = ((x + 100) / 2) * 4 x= -50 Тогда 5 месяцев, потому что после третьего месяца должно быть больше!

Ответ: 5 месяцев