10. Катет прямоугольного треугольника равен 8см, а медиана, проведённая к этому катету, равна 2√13 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Пусть катет равен \(a = 8\). Медиана, проведенная к этому катету, равна \(m = 2\sqrt{13}\). Обозначим другой катет как \(b\). Медиана делит катет на две равные части, поэтому одна из частей равна \(\frac{b}{2}\). Используем теорему Пифагора для треугольника, образованного медианой, катетом \(a\) и половиной катета \(b\): \(a^2 + (\frac{b}{2})^2 = m^2\) \(8^2 + (\frac{b}{2})^2 = (2\sqrt{13})^2\) \(64 + \frac{b^2}{4} = 4 \cdot 13\) \(64 + \frac{b^2}{4} = 52\) \(\frac{b^2}{4} = 52 - 64\) \(\frac{b^2}{4} = -12\) - здесь что-то не так, должно быть положительное число, вероятно, опечатка в условии. Предположим, что медиана равна \(2\sqrt{3}\) вместо \(2\sqrt{13}\). Тогда: \(64 + \frac{b^2}{4} = (2\sqrt{3})^2\) \(64 + \frac{b^2}{4} = 12\) \(\frac{b^2}{4} = 12 - 64\) - снова получается отрицательное число. Допустим, катет, к которому проведена медиана, равен \(b\), тогда: Тогда \((\frac{a}{2})^2 + b^2 = m^2\), где \(a = 8\). \(4^2 + b^2 = (2\sqrt{13})^2\) \(16 + b^2 = 52\) \(b^2 = 52 - 16 = 36\) \(b = \sqrt{36} = 6\). Теперь найдем гипотенузу \(c\): \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\). Ответ: 10 см.