660. Катер, развивающий в стоячей воде скорость 20 км/ч, прошёл 36 км против течения и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость течения реки.

Обозначим скорость течения реки за $$x$$ км/ч.

Тогда скорость катера по течению реки равна $$(20+x)$$ км/ч, а против течения $$(20-x)$$ км/ч.

Время, затраченное катером на путь по течению, равно $$\frac{22}{20+x}$$ ч, а против течения - $$\frac{36}{20-x}$$ ч.

Так как по условию на весь путь было затрачено 3 часа, составим уравнение:

$$\frac{22}{20+x} + \frac{36}{20-x} = 3$$

Решим уравнение:

$$\frac{22(20-x) + 36(20+x)}{(20+x)(20-x)} = 3$$ $$440-22x+720+36x = 3(400-x^2)$$ $$1160 + 14x = 1200 - 3x^2$$ $$3x^2 + 14x - 40 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 196 + 480 = 676 = 26^2$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-14 + 26}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$$ $$x_2 = \frac{-14 - 26}{2 \cdot 3} = \frac{-40}{6} = -\frac{20}{3}$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то скорость течения реки равна 2 км/ч.

Ответ: 2 км/ч