Деепричастный оборот «надеясь найти хозяина по запаху его следов» нужно выделить запятыми с обеих сторон, так как он обособляется в предложении.
Ответ: Каштанка стала обнюхивать тротуар, надеясь найти хозяина по запаху его следов.