8. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 58°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Пусть точка пересечения касательных - точка С. Тогда $$\angle ACB = 58^\circ$$. Так как CA и CB - касательные, то OA перпендикулярна CA и OB перпендикулярна CB. Значит, $$\angle CAO = 90^\circ$$ и $$\angle CBO = 90^\circ$$. Рассмотрим четырехугольник CAOB. Сумма углов четырехугольника равна 360°, следовательно, $$\angle AOB = 360^\circ - \angle CAO - \angle CBO - \angle ACB$$ = $$360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 58^\circ$$ = $$122^\circ$$. Треугольник AOB равнобедренный, так как OA = OB (радиусы). Значит, $$\angle OAB = \angle OBA$$. Сумма углов треугольника равна 180°. Тогда, $$\angle ABO = (180^\circ - \angle AOB) / 2 = (180^\circ - 122^\circ) / 2 = 58^\circ / 2 = 29^\circ$$ Ответ: 29°