Решение задач из карточки 21

Задача 1

Лестница соединяет точки A и B. Высота каждой ступени равна 18 см, а длина – 80 см. Расстояние между точками A и B составляет 41 м. Найдите высоту, на которую поднимается лестница (в метрах).

Решение:

Пусть n – количество ступеней. Тогда высота подъема лестницы равна 0.18n (в метрах), а горизонтальная проекция равна 0.8n (в метрах). По теореме Пифагора:

$$ (0.18n)^2 + (0.8n)^2 = 41^2 $$ $$ 0.0324n^2 + 0.64n^2 = 1681 $$ $$ 0.6724n^2 = 1681 $$ $$ n^2 = \frac{1681}{0.6724} = 2500 $$ $$ n = \sqrt{2500} = 50 $$

Тогда высота, на которую поднимается лестница, равна:

$$ 0.18 \cdot 50 = 9 $$

Ответ: 9 метров

Задача 2

Человек ростом 1,5 м стоит на расстоянии 6 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 10,5 м. Найдите длину тени человека в метрах.

Решение:

Пусть x – длина тени человека. Тогда, используя подобие треугольников, получаем:

$$ \frac{1.5}{10.5} = \frac{x}{x + 6} $$ $$ 1.5(x + 6) = 10.5x $$ $$ 1.5x + 9 = 10.5x $$ $$ 9 = 9x $$ $$ x = 1 $$

Ответ: 1 метр

Задача 3

Найдите площадь трапеции

Решение:

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

$$ S = \frac{a + b}{2} \cdot h $$

В данном случае, основания a = 29 и b = 53, высота h = 32.

$$ S = \frac{29 + 53}{2} \cdot 32 $$ $$ S = \frac{82}{2} \cdot 32 $$ $$ S = 41 \cdot 32 = 1312 $$

Ответ: 1312

Задача 4

Невозможно решить задачу, не зная, что изображено на рисунке.

Задача 5

Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27. Найдите диаметр окружности.

Решение:

Пусть r – радиус окружности. Тогда, используя теорему Пифагора, получаем:

$$ r^2 = 27^2 + (72/2)^2 $$ $$ r^2 = 27^2 + 36^2 $$ $$ r^2 = 729 + 1296 $$ $$ r^2 = 2025 $$ $$ r = \sqrt{2025} = 45 $$

Тогда диаметр окружности равен:

$$ d = 2r = 2 \cdot 45 = 90 $$

Ответ: 90