Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки А(-3,2) и В(7,-8), имеет вид ...

Для нахождения канонического уравнения прямой, проходящей через две заданные точки, нам потребуется использовать формулу. Сначала найдем направляющий вектор прямой, а затем подставим координаты одной из точек в уравнение.

Пусть даны точки A(-3, 2) и B(7, -8).

1. Найдем направляющий вектор \(\vec{AB}\):

Координаты вектора \(\vec{AB}\) вычисляются как разность соответствующих координат точек B и A:

$$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (7 - (-3), -8 - 2) = (10, -10)$$

Таким образом, \(\vec{AB} = (10, -10)\).

2. Запишем каноническое уравнение прямой:

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A(x₀, y₀) и имеющей направляющий вектор \(\vec{v} = (a, b)\), имеет вид:

$$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b}$$

В нашем случае точка A(-3, 2), вектор \(\vec{AB} = (10, -10)\), следовательно, уравнение имеет вид:

$$\frac{x - (-3)}{10} = \frac{y - 2}{-10}$$

Упростим уравнение:

$$\frac{x + 3}{10} = \frac{y - 2}{-10}$$

Умножим обе части на 10:

$$\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 2}{-1}$$

Или:

$$x + 3 = -(y - 2)$$

$$x + 3 = -y + 2$$

$$x + y = -1$$

Однако обычно каноническое уравнение оставляют в виде пропорции. Поэтому можно оставить его как:

$$\frac{x + 3}{10} = \frac{y - 2}{-10}$$

Или сократить вектор (10, -10) на 10, получив (1, -1):

$$\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 2}{-1}$$

Таким образом, каноническое уравнение прямой имеет вид:

$$\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 2}{-1}$$