53. Какое наибольшее значение и при каком значении переменной принимает выражение: 1) -x⁴ - 10; 2) 6 - (x - 5)²; 3) -(x + 5)⁴ + 13?

Рассмотрим каждое выражение.

1. -x⁴ - 10. Четвертая степень любого числа неотрицательна, то есть $$x^4\ge0$$. Значит, $$-x^4\le0$$. Тогда максимальное значение выражения будет, когда $$x=0$$, и оно равно $$-0^4-10=-10$$.
2. 6 - (x - 5)². Квадрат любого числа неотрицателен, то есть $$(x-5)^2\ge0$$. Значит, $$-(x-5)^2\le0$$. Тогда максимальное значение выражения будет, когда $$x-5=0$$, то есть $$x=5$$, и оно равно $$6-(0)^2=6$$.
3. -(x + 5)⁴ + 13. Четвертая степень любого числа неотрицательна, то есть $$(x+5)^4\ge0$$. Значит, $$-(x+5)^4\le0$$. Тогда максимальное значение выражения будет, когда $$x+5=0$$, то есть $$x=-5$$, и оно равно $$-(0)^4+13=13$$.

Ответ: 1) -10 при x = 0; 2) 6 при x = 5; 3) 13 при x = -5.