Какое из следующих утверждений относительно этих чисел является верным? 1)b-a<0 2) a²-b² <0 1 3)-\<b a 4)a+b<0

Анализ утверждений

На числовой оси отмечены точки a, b и 1. Видно, что a находится левее b, а b левее 1. Таким образом, можно сделать следующие выводы:

• a < b < 1
• a < 0 (так как находится левее нуля)
• b > 0 (так как находится правее нуля)

Рассмотрим каждое утверждение:

1. \( b - a < 0 \)

Это эквивалентно \( b < a \). Но мы видим, что \( a < b \), значит, это утверждение неверно.

1. \( a^2 - b^2 < 0 \)

Это эквивалентно \( a^2 < b^2 \). Так как \( a < 0 \) и \( 0 < b < 1 \), то \( |a| > b \). Возводя в квадрат, получим \( a^2 > b^2 \). Следовательно, это утверждение неверно.

1. \( \frac{1}{a} < b \)

Поскольку \( a < 0 \), то \( \frac{1}{a} < 0 \). А \( b > 0 \). Отрицательное число всегда меньше положительного. Значит, это утверждение верно.

1. \( a + b < 0 \)

Здесь \( a \) — отрицательное число, а \( b \) — положительное. Чтобы определить знак суммы, нужно сравнить модули чисел. Из рисунка видно, что \( |a| > b \). Следовательно, \( a + b < 0 \). Это утверждение верно.

Уточнение: В условии задания есть только одно верное утверждение. Перепроверим условие и рисунок. На рисунке, точка a находится между -1 и 0, точка b находится между 0 и 1. Тогда a < 0 и 0 < b < 1. Относительно b, оно может быть как меньше 1, так и больше 1. Если принять, что a < 0 и 0 < b < 1, то:

1. \( b - a < 0 \) \(\rightarrow\) \( b < a \). Это неверно, так как \( a < 0 < b \).
2. \( a^2 - b^2 < 0 \) \(\rightarrow\) \( a^2 < b^2 \). Так как \( b < 1 \), то \( b^2 < 1 \). Так как \( a < 0 \), то \( a^2 > 0 \). Но \( a \) ближе к 0, чем \( b \) к 1. Например, \( a = -0.2 \) и \( b = 0.8 \). Тогда \( a^2 = 0.04 \) и \( b^2 = 0.64 \). \( 0.04 < 0.64 \). Значит, \( a^2 < b^2 \) верно.
3. \( \frac{1}{a} < b \). Если \( a = -0.2 \) и \( b = 0.8 \), то \( \frac{1}{-0.2} = -5 \). \( -5 < 0.8 \). Верно.
4. \( a + b < 0 \). Если \( a = -0.2 \) и \( b = 0.8 \), то \( -0.2 + 0.8 = 0.6 > 0 \). Неверно.

Если принять, что a < 0 и b > 1 (что противоречит рисунку, где b < 1), то:

1. \( b - a < 0 \) \(\rightarrow\) \( b < a \). Неверно.
2. \( a^2 - b^2 < 0 \) \(\rightarrow\) \( a^2 < b^2 \). Если \( a = -2 \) и \( b = 3 \), то \( a^2 = 4 \) и \( b^2 = 9 \). \( 4 < 9 \). Верно.
3. \( \frac{1}{a} < b \). Если \( a = -2 \) и \( b = 3 \), то \( \frac{1}{-2} = -0.5 \). \( -0.5 < 3 \). Верно.
4. \( a + b < 0 \). Если \( a = -2 \) и \( b = 3 \), то \( -2 + 3 = 1 > 0 \). Неверно.

Вернемся к первоначальному условию, что a < b < 1. И a < 0, b > 0.

1. \( b - a < 0 \) \(\rightarrow\) \( b < a \). Неверно, так как \( a < b \).

2. \( a^2 - b^2 < 0 \) \(\rightarrow\) \( a^2 < b^2 \). Возможны варианты. Например, \( a=-2, b=1.5 \). Тогда \( a^2=4, b^2=2.25 \). \( 4 > 2.25 \). Неверно. Если \( a=-1.5, b=2 \). Тогда \( a^2=2.25, b^2=4 \). \( 2.25 < 4 \). Верно. Но на рисунке \( |a| > b \) не следует. Если \( a = -0.6 \) и \( b = 0.8 \). \( a^2 = 0.36 \) и \( b^2 = 0.64 \). \( 0.36 < 0.64 \). Верно.

3. \( \frac{1}{a} < b \). Так как \( a < 0 \) и \( b > 0 \), то \( \frac{1}{a} < 0 < b \). Утверждение верно.

4. \( a + b < 0 \). Здесь \( a \) отрицательное, \( b \) положительное. Если \( |a| > |b| \), то сумма отрицательная. Если \( |a| < |b| \), то сумма положительная. На рисунке \( |a| > b \) не очевидно, но если \( a \) близко к -1, а \( b \) близко к 0, то \( |a| > b \). Например, \( a = -0.8 \) и \( b = 0.3 \). Тогда \( -0.8 + 0.3 = -0.5 < 0 \). Верно.

Из представленных вариантов, утверждение 3 является однозначно верным, так как \( a < 0 \) и \( b > 0 \). Утверждение 4 может быть верным или неверным в зависимости от конкретных значений \( a \) и \( b \).

Ответ: 3