К-1 Уровень 1 Вариант 2 1. Диагонали прямоугольника MNKP пересекаются в точке O, ZMON = 64°. Найдите угол ОМР. 2. Найдите углы равнобокой трапеции, если один из ее углов на 30° больше второго. 3. Стороны параллелограмма относятся как 3 : 1, а его периметр равен 40 см. Найдите стороны параллелограмма. 4. В прямоугольной трапеции разность углов при одной из боковых сторон равна 48°. Найдите углы трапеции. 5.* Высота ВМ, проведенная из вершины угла ромба ABCD образует со стороной АВ угол 30°, длина диагонали АС равна 6 см. Найдите АМ, если точка М лежит на продолжении стороны АД.

Определим предмет: геометрия.

1. Диагонали прямоугольника MNKP пересекаются в точке O, $$\angle MON = 64^{\circ}$$. Найдите угол OMP.

   Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, $$MO = ON$$, и треугольник $$MON$$ равнобедренный. Тогда углы при основании $$MN$$ равны:$$\angle OMN = \angle ONM = \frac{180^{\circ} - \angle MON}{2} = \frac{180^{\circ} - 64^{\circ}}{2} = \frac{116^{\circ}}{2} = 58^{\circ}.$$

   Так как $$MNKP$$ - прямоугольник, то $$\angle KMN = 90^{\circ}$$.

   Искомый угол $$OMP$$ равен разности углов $$KMN$$ и $$OMN$$:

   $$\angle OMP = \angle KMN - \angle OMN = 90^{\circ} - 58^{\circ} = 32^{\circ}.$$

   Ответ: $$\angle OMP = 32^{\circ}$$.

2. Найдите углы равнобокой трапеции, если один из ее углов на $$30^{\circ}$$ больше второго.

   В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Пусть меньший угол равен $$x$$, тогда больший угол равен $$x + 30^{\circ}$$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $$180^{\circ}$$. Таким образом, имеем уравнение:

   $$x + x + 30^{\circ} = 180^{\circ}$$ $$2x = 150^{\circ}$$ $$x = 75^{\circ}$$.

   Тогда больший угол равен $$75^{\circ} + 30^{\circ} = 105^{\circ}$$.

   Следовательно, углы трапеции равны $$75^{\circ}, 75^{\circ}, 105^{\circ}, 105^{\circ}$$.

   Ответ: $$75^{\circ}, 75^{\circ}, 105^{\circ}, 105^{\circ}$$.

3. Стороны параллелограмма относятся как 3 : 1, а его периметр равен 40 см. Найдите стороны параллелограмма.

   Пусть меньшая сторона параллелограмма равна $$x$$, тогда большая сторона равна $$3x$$. Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме смежных сторон:

   $$P = 2(a + b)$$ $$40 = 2(x + 3x)$$ $$40 = 2 \cdot 4x$$ $$40 = 8x$$ $$x = 5$$.

   Тогда большая сторона равна $$3 \cdot 5 = 15$$ см.

   Ответ: 5 см, 15 см, 5 см, 15 см.

4. В прямоугольной трапеции разность углов при одной из боковых сторон равна $$48^{\circ}$$. Найдите углы трапеции.

   В прямоугольной трапеции два угла равны $$90^{\circ}$$. Пусть один из углов равен $$x$$, тогда другой угол равен $$x + 48^{\circ}$$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $$180^{\circ}$$. Так как трапеция прямоугольная, то один из углов равен $$90^{\circ}$$, следовательно, $$x + 48^{\circ} = 90^{\circ}$$, откуда $$x = 42^{\circ}$$.

   Итак, углы трапеции: $$90^{\circ}, 90^{\circ}, 42^{\circ}, 138^{\circ}$$.

   Ответ: $$90^{\circ}, 90^{\circ}, 42^{\circ}, 138^{\circ}$$.

5. Высота ВМ, проведенная из вершины угла ромба ABCD образует со стороной АВ угол $$30^{\circ}$$, длина диагонали АС равна 6 см. Найдите АМ, если точка М лежит на продолжении стороны АД.

   В прямоугольном треугольнике ABM угол $$ABM$$ равен $$30^{\circ}$$, значит угол $$BAM$$ равен $$60^{\circ}$$. Так как ABCD ромб, то угол $$BAD$$ равен $$60^{\circ}$$. Следовательно, треугольник ABD равносторонний, и $$AB = BD = AD$$. Диагональ AC является биссектрисой угла $$BAD$$, поэтому $$\angle BAC = \angle CAD = 30^{\circ}$$.

   Рассмотрим треугольник ABC. Он равнобедренный, так как $$AB = BC$$. Высота, проведенная из вершины B, также является медианой, следовательно, $$AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ см. В прямоугольном треугольнике ABO катет AO лежит против угла $$30^{\circ}$$, значит, гипотенуза $$AB = 2AO = 2 \cdot 3 = 6$$ см. Тогда $$AD = AB = 6$$ см.

   В прямоугольном треугольнике ABM катет AB лежит против угла $$30^{\circ}$$, значит, гипотенуза $$AM = 2BM$$. $$AM = AD + DM$$, значит $$DM = AM - AD = 12 - 6 = 6$$ см.

   Ответ: 12 см.