9. К потолку подвешены два маятника. За одинаковое время один маятник совершил 5 колебаний, а другой 3 колебания. Какова длина каждого маятника, если раз- ность их длин 48 см?

1. Период колебаний математического маятника:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$, где

$$T$$ - период колебаний, $$l$$ - длина маятника, $$g$$ - ускорение свободного падения.

2. Обозначим длины маятников: $$l_1$$ и $$l_2$$. Пусть $$l_1 > l_2$$. Тогда $$l_1 - l_2 = 48 \text{ см} = 0.48 \text{ м}$$

3. Пусть время колебаний равно $$t$$. Тогда периоды колебаний:

$$T_1 = \frac{t}{5}$$, $$T_2 = \frac{t}{3}$$

4. Выразим длины маятников через периоды:

$$l_1 = \frac{gT_1^2}{4\pi^2} = \frac{g(\frac{t}{5})^2}{4\pi^2} = \frac{gt^2}{100\pi^2}$$

$$l_2 = \frac{gT_2^2}{4\pi^2} = \frac{g(\frac{t}{3})^2}{4\pi^2} = \frac{gt^2}{36\pi^2}$$

5. Составим уравнение:

$$l_1 - l_2 = \frac{gt^2}{100\pi^2} - \frac{gt^2}{36\pi^2} = \frac{gt^2}{\pi^2}(\frac{1}{100} - \frac{1}{36}) = 0.48$$

$$\frac{gt^2}{\pi^2}(\frac{36 - 100}{3600}) = 0.48$$

$$\frac{gt^2}{\pi^2}(\frac{-64}{3600}) = 0.48$$

$$\frac{gt^2}{\pi^2} = \frac{0.48 \cdot 3600}{64} = \frac{1728}{64} = 27$$

6. Найдем длины маятников:

$$l_1 = 27 \cdot \frac{1}{100} = 0.27 \text{ м}$$

$$l_2 = 27 \cdot \frac{1}{36} = 0.75 \text{ м}$$

Данное решение не соответствует условию, так как $$l_1 < l_2$$. Необходимо поменять знаки.

$$\frac{gt^2}{\pi^2}(\frac{64}{3600}) = 0.48$$

$$\frac{gt^2}{\pi^2} = \frac{0.48 \cdot 3600}{64} = \frac{1728}{64} = 27$$

$$l_1 = 27 \cdot \frac{1}{36} = 0.75 \text{ м}$$

$$l_2 = 27 \cdot \frac{1}{100} = 0.27 \text{ м}$$

Ответ: Длина первого маятника 0.75 м, длина второго маятника 0.27 м.