9. К потолку подвешены два маятника. За одинаковое время один маятник совершил 5 колебаний, а другой — 3 колебания. Какова длина каждого маятника, если раз- ность их длин 48 см?

1. Период колебаний математического маятника равен:

$$T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$, где $$T$$ – период колебаний (с), $$l$$ – длина маятника (м), $$g$$ – ускорение свободного падения (м/с²).

Выразим длину маятника:

$$l = \frac{gT^2}{4 \pi^2}$$

2. Период колебаний также можно выразить через время и количество колебаний:

$$T = \frac{t}{N}$$, где $$T$$ – период колебаний (с), $$t$$ – время колебаний (с), $$N$$ – количество колебаний.

$$T_1 = \frac{t}{5}$$, $$T_2 = \frac{t}{3}$$

3. Подставим значение периода в формулу для длины маятника:

$$l_1 = \frac{g(\frac{t}{5})^2}{4 \pi^2} = \frac{gt^2}{100 \pi^2}$$, $$l_2 = \frac{g(\frac{t}{3})^2}{4 \pi^2} = \frac{gt^2}{36 \pi^2}$$

4. Разность длин маятников равна 48 см = 0,48 м:

$$l_2 - l_1 = 0.48 \text{ м}$$, $$\frac{gt^2}{36 \pi^2} - \frac{gt^2}{100 \pi^2} = 0.48 \text{ м}$$

$$\frac{gt^2(100 - 36)}{3600 \pi^2} = 0.48 \text{ м}$$, $$\frac{gt^2 \cdot 64}{3600 \pi^2} = 0.48 \text{ м}$$, $$gt^2 = \frac{0.48 \text{ м} \cdot 3600 \pi^2}{64}$$

5. Подставим значение $$gt^2$$ в формулу для длины маятников:

$$l_1 = \frac{\frac{0.48 \text{ м} \cdot 3600 \pi^2}{64}}{100 \pi^2} = \frac{0.48 \text{ м} \cdot 36}{64} = 0.27 \text{ м}$$, $$l_2 = \frac{\frac{0.48 \text{ м} \cdot 3600 \pi^2}{64}}{36 \pi^2} = \frac{0.48 \text{ м} \cdot 100}{64} = 0.75 \text{ м}$$

Ответ: длина первого маятника 27 см, длина второго маятника 75 см.