К окружности с центром О проведены касательные СМ и CN (М и N - точки касания). Отрезки СО и MN пересекаются в точке А. Найдите длину отрезка MN, если CM = 13, AC = 12.

Так как СМ и CN - касательные, то треугольник CMN равнобедренный (СМ = CN = 13).
Отрезок СО является биссектрисой угла MCN и перпендикулярен MN.
В прямоугольном треугольнике СМО, $$OM^2 + CM^2 = CO^2$$.
Так как СО = СА + АО, и АО является радиусом, а СО - биссектрисой, то треугольник СМО прямоугольный.
В прямоугольном треугольнике СМА, $$AM^2 + AC^2 = CM^2$$
$$AM^2 + 12^2 = 13^2$$
$$AM^2 + 144 = 169$$
$$AM^2 = 25$$
$$AM = 5$$.
Так как СО перпендикулярно MN, то MN = 2 * AM = 2 * 5 = 10.
Ответ: 10