4. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы x² + y² = 16, y = -x².

4. Изобразим на координатной плоскости множество решений системы:

$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 16 \\ y = -x^2\end{cases}$$

Подставим второе уравнение в первое:

$$x^2 + (-x^2)^2 = 16$$ $$x^2 + x^4 = 16$$ $$x^4 + x^2 - 16 = 0$$

Пусть $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 + t - 16 = 0$$ $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 1 + 64 = 65$$ $$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{65}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + \sqrt{65}}{2}$$ $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{65}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - \sqrt{65}}{2}$$

Поскольку $$t = x^2$$, то $$t$$ должно быть неотрицательным. Значит, остается только один корень:

$$t = \frac{-1 + \sqrt{65}}{2}$$

Тогда $$x^2 = \frac{-1 + \sqrt{65}}{2}$$ $$x = \pm \sqrt{\frac{-1 + \sqrt{65}}{2}}$$

Найдем соответствующие значения y:

$$y = -x^2 = -\frac{-1 + \sqrt{65}}{2} = \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$$

Итак, координаты точек пересечения:

$$\left(\sqrt{\frac{-1 + \sqrt{65}}{2}}; \frac{1 - \sqrt{65}}{2}\right), \left(-\sqrt{\frac{-1 + \sqrt{65}}{2}}; \frac{1 - \sqrt{65}}{2}\right)$$

Графически это выглядит как пересечение окружности с центром в начале координат радиуса 4 и параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в начале координат.

Поскольку требуется только изобразить на координатной плоскости множество решений системы, то:

      ^ y
      |
      |    * A
    -----|-----> x
      |    * B
      |

Точки A и B - точки пересечения окружности и параболы, которые являются решениями системы уравнений.

Ответ: Графическое представление решения.