Из урны, содержащей шары с номерами 1,2,..., 9 пять раз наугад вынимают шар. Найдите вероятность того, что из номеров шаров можно составить возрастающую последовательность.

Решение:

Всего в урне 9 шаров с номерами от 1 до 9.

Мы вынимаем шар 5 раз. Это означает, что мы выбираем 5 различных номеров из 9 возможных, и порядок имеет значение (так как мы хотим составить возрастающую последовательность).

Общее количество способов выбрать 5 шаров из 9, где порядок важен, равно числу размещений из 9 по 5:

\[ A_9^5 = \frac{9!}{(9-5)!} = \frac{9!}{4!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 15120 \]

Теперь найдём количество способов составить возрастающую последовательность. Если мы выбрали 5 шаров, существует только один способ расположить их в возрастающем порядке.

Количество способов выбрать 5 шаров из 9, где порядок не имеет значения (число сочетаний), равно:

\[ C_9^5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 2 \times 7 = 126 \]

Каждому такому набору из 5 шаров соответствует ровно одна возрастающая последовательность.

Вероятность того, что из номеров шаров можно составить возрастающую последовательность, равна отношению количества способов выбрать 5 шаров (порядок не важен) к общему числу способов выбрать 5 шаров (порядок важен):

\[ P = \frac{\text{количество способов выбрать 5 шаров (порядок не важен)}}{\text{количество способов выбрать 5 шаров (порядок важен)}}} = \frac{C_9^5}{A_9^5} = \frac{126}{15120} = \frac{1}{120} \]

Ответ: \(\frac{1}{120}\)