Из точки на прямой проведены две наклонные, проекции которых на прямую равны 15 см и 6 см. Найдите данные наклонные, если одна из них на 7 см больше другой.

Пусть проекции наклонных равны $$p_1 = 15$$ см и $$p_2 = 6$$ см. Пусть наклонные равны $$l_1$$ и $$l_2$$. По условию, одна наклонная на 7 см больше другой, например, $$l_1 = l_2 + 7$$.

Так как наклонные проведены из одной точки к одной прямой, то $$l_1^2 = h^2 + p_1^2$$ и $$l_2^2 = h^2 + p_2^2$$, где $$h$$ — высота.

Вычтем второе уравнение из первого: $$l_1^2 - l_2^2 = p_1^2 - p_2^2$$. Подставим $$l_1 = l_2 + 7$$: $$(l_2+7)^2 - l_2^2 = 15^2 - 6^2$$. Раскроем скобки: $$l_2^2 + 14l_2 + 49 - l_2^2 = 225 - 36$$. Упростим: $$14l_2 + 49 = 189$$. $$14l_2 = 140$$. $$l_2 = 10$$ см. Тогда $$l_1 = 10 + 7 = 17$$ см.